三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解.
2•利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.(2)利用平行四
边形法则或三角形法贝U进行转化丄转化为要求的向量形式.__ (3)比较，观察可知所求.__________
突破点(二)平面向量的线性运算
1.向量的线性运算：加法、减法、数乘
2. 平面向量共线定理：向量b与a(a^o)共线的充要条件是有且只有一个实数人使得b=
1
［答案］(1)D⑵1
—…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……__―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「
i1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.⑵含图形的情况：将它们转化到］
向量的坐标.（2）解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解.
考点二平面向量共线定理的应用
［例2Lu设两个非零向Ja和b不共鈿
(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b).求证：A,B,D三点共线.
⑵试确定实数k,使ka+b和a+kjbU共线.uuiu
［解］⑴证明：因为AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b),
uuir uuir uuuuuuruuirUULT
1="k
_［方法技巧」__________________________
-…-…----…""平面向量共线定理的三个应用…—-…—-…—］
!uUU证明［向量共线：对于非U向量a,b,若存在实数 入使a="b则a与b共线.⑵证明三点共线：若存在实数入j
使AB=入AC,AB与AC有公共点a,则A,B,C三点共线.⑶求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件
|a| |2b||b||a| |b|
(2)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|ao的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与ao
平行，则a与ao的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a=-|a|ao，故②③也是假命题.综上
所述，假命题的个数是3.
［答案］(1)C(2)D
__［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上.
—6m+n=5,m=—1,
⑵，.mb+nc=(—6m+n,—n=一1.
即所求实数m的值为一1,n的值为一1.
uuuu uuuuuuiruuuuujit
⑶设O为坐标原点，TCM=OM—OC=3c,—OM=3c+OC=(3,24)+(—3,—4)=(0,20)，即
a=|a|ao;③若a与ao平行且|a|=1,则a=ao.假命题的个数是()
A.oB.1C.2D.3
［解析］⑴因为向量合的方向与向量a相同，向量£的方向与向量b相同，且£，所以向量a与
|a| |b| |a| |b|
向量b方向相同，故可排除选项A,B,D.当a=2b时，a=警=b，故a=2b是耳=g成立的充分条件.
uuiruuur uttruuuruuir
M (0,20).又•/CN=ON—OC=—2b,—ON=—2b+OC=(12,6)+(—3,—4)=(9,2),
uuuu
即N(9,2). —MN=(9,—18).
［方法技巧］
厂-一—…--一---耳面向量坐标运算的技巧—…—-! （1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求
=—2b,(1)求3a+b—3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及向量MN的坐标.
［解］由已知得a=(5, —5),b=(—6, —3),c=(1,8).
(1)3a+b—3c=3(5,—5)+(—6,—3)—3(1,8)=(15—6—3, —15—3—24)=(6, —42).
列方程(组)求参数的值.［提醒］证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.
突破点(三)平面向量基本定理
如果ei,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,
乃,尼,使a=力ei+尼e2.其中，不共线的向量ei,e?叫做表示这一平面内所有向量的一
基底的概念
是共线向量，
___［易错提醒丄_—___―_—___―_—___―_—___―_ 葆平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，不能含有零向量
1.平面向量的坐标运算：（1）向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模；（2）向量坐标的求法
2.平面向量共线的坐标表示
考点一平面向量的坐标运算
uutruttruuuuuuuuuu
［例1］已知A(—2,4),B(3, —1),C(—3,—4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN
uuuu
平面向量基本定理的实质及解题思路
（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基
本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
」一一一一一一-—一突破点7四亍…平面向量的」
05
突破点(一)平面向量的有关概念
知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量
考点
平面向量的有关概念
a b
［典例］⑴设a,b都是非零向量，下列四个条件中，使向=而成立的充分条件是()
A.a=-bB.a//b C.a=2b D.a//b且|a|=|b|
⑵设ao为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，贝Ua=|a| ao;②若a与ao平行，则
所以BD=BC+CD=2a+8b+3(a—b)=5(a+b)=5AB，所以AB,BD共线.
uuur uuir
又AB与BD有公共点B,所以A,B,D三点共线.
(2)因为ka+b与a+kb共线，所以存在实数人使ka+b= "a+kb),
k=人
即解得k= ±1.即卩k=1或一1时，ka+b与a+kb共线.