2、直接证明与间接证明三种证明方法的定义与步骤：1. 综合法 是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。
2. 分析法 是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。
3. 反证法 假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤： (1) 假设命题的结论不成立； (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立 题型一：用综合法证明数学命题例1 ：对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数．(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；(2)判断函数()21x g x =-（]1,0[∈x ）是否为理想函数，并予以证明； 解析：（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤⇒+≥f f f f ．又由条件①0)0(≥f ，故0)0(=f ．（2）显然12)(-=x x g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ；也满足条件②1)1(=g ．若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则)]12()12[(12)]()([)(21212121-+---=+-++x x x x x g x g x x g0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ，即满足条件③，故)(x g 理想函数．注：紧扣定义，证明函数()21x g x =-（]1,0[∈x ）满足三个条件题型二：用分析法证明数学命题例2：已知：10<<a ，求证：9141≥-+a a . 证明：∵ 10<<a ∴ 要证 9141≥-+aa ，去分母后需要证：（1－a ）+4a ≥9a （1—a ）， 移项合并同类项，即需要证：92a —6a+1≥0，即要证；()2310a -≥ (1)而（1）式显然成立， ∴ 原不等式成立。
题型三：用反证法证明数学命题或判断命题的真假 例3 ：已知)1(12)(>+-+=a x x a x f x ，证明方程0)(=x f 没有负数根 解析：假设0x 是0)(=x f 的负数根，则00<x 且10-≠x 且12000+--=x x ax112010000<+--<⇒<<∴x x a x ，解得2210<<x ，这与00<x 矛盾，故方程0)(=x f 没有负数根注：（1）凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题从正面突破往往比较困难，适宜用反证法。
即 “正难则反”；（2）反证法步骤：假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立。
选择题1.用反证法证明命题：若整系数方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）. A 、假设,,a b c 都是偶数B 、假设,,a b c 都不是偶数C 、假设,,a b c 中至多有一个偶数D 、假设,,a b c 中至多有两个偶数答案；B2．若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ）A.锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定 答案： B3.已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是（ B ） A.（0，11a ） B （0，12a ） C.（0，31a ） D. （0，32a ） 提示；2(1)1i a x -<⇒x ∈（0，2ia ），由1230a a a >>>⇒123222a a a <<得出结论。
填空题 4．若244)(+=xxx f ，则)10011000()10012()10011(f f f +++ =____________. 答案：5005. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方程为01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你完成直线OF 的方程： ( )011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x 。
答案：11c b-6．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15………………y按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为答案：222n n -+。
解答题7. 若0>>>>d c b a 且c b d a +=+，求证：c b a d +<+ [解析]要证c b a d +<+，只需证22)()(c b a d +<+ 即bc c b ad d a 22++<++，因c b d a +=+，只需证bc ad < 即bc ad <，设t c b d a =+=+，则0))(()()(<-+-=---=-t d c d c c c t d d t bc adbc ad <∴成立，从而c b a d +<+成立8.在锐角三角形ABC 中,求证:C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ [解析]ABC ∆ 为锐角三角形，B A B A ->∴>+∴22ππ，x y sin = 在)2,0(π上是增函数，B B A cos )2sin(sin =->∴π同理可得C B cos sin >，A C cos sin >C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++∴9. 设b a ,为非零向量，且b a ,不平行，求证b a +，ba -不平行[解析]假设b a +)(b a -=λ，则0)1()1(=++-b a λλ，ba , 不平行，⎩⎨⎧=+=-∴0101λλ，因方程组无解，故假设不成立，即原命题成立10. 已知a 、b 、c 成等差数列且公差0≠d ，求证：a 1、b 1、c1不可能成等差数列[解析] a 、b 、c 成等差数列，c a b +=∴2假设a 1、b 1、c 1成等差数列，则0)(4)(11222=-⇒=+⇒+=c a ac c a ca b ，ca =∴从而0=d 与0≠d 矛盾，a 1∴、b 1、c1不可能成等差数列11. 已知xx f ln )(=证明： )1()1(->≤+x x x f[解析] 即证：0)1ln(≤-+x x设1111)(,)1ln()(+-=-+='-+=x x x x k x x x k 则. 当x ∈（-1，0）时，k ′(x )>0，∴k (x )为单调递增函数； 当x ∈（0，∞）时，k ′(x )<0，∴k (x )为单调递减函数； ∴x =0为k(x )的极大值点， ∴k(x )≤k(0)=0.即0)1ln(≤-+x x )1()1(->≤+∴x x x f12. 已知函数||1y x =+，y =，11()2ty x x-=+(0)x > 的最小值恰好是方程320x ax bx c +++=的三个根，其中01t <<．求证：223a b =+；[解析] 三个函数的最小值依次为1，由(1)0f =，得1c a b =---∴ 3232()(1)f x x ax bx c x ax bx a b =+++=++-++2(1)[(1)(1)]x x a x a b =-+++++，故方程2(1)(1)0x a x a b +++++=(1)a =-+1a b =++． 22(1)a =+，即222(1)(1)a b a +++=+ ∴ 223a b =+．改变后直接证明与间接证明1.用反证法证明命题：若整系数方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）. A 、假设,,a b c 都是偶数B 、假设,,a b c 都不是偶数C 、假设,,a b c 中至多有一个偶数D 、假设,,a b c 中至多有两个偶数2．若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ） A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定3．若244)(+=x x x f ，则)10011000()10012()10011(f f f +++ =____________.4 . 若0>>>>d c b a 且c b d a +=+，求证：c b a d +<+5.在锐角三角形ABC 中,求证:C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++6. 设b a ,为非零向量，且b a ,不平行，求证b a +，b a -不平行7. 已知a 、b 、c 成等差数列且公差0≠d ，求证：a 1、b 1、c1不可能成等差数列8.对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数．(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；(2)判断函数()21x g x =-（]1,0[∈x ）是否为理想函数，并予以证明；。