第31题 三角函数的图象I ．题源探究·黄金母题例1．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：（1）1sin(3),23y x x R π=-∈； （2）2sin(+),4y x x R π=-∈； （3）1sin(2),5y x x R π=--∈；（4）3sin(),63xy x R π=-∈；【解析】 （1）（2）（3）（4）精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第16题）【母题评析】本考查了如何利用五点法去画函数sin()y A x b ωϕ=++的图象，同时培养了学生的作图、识图能力，对sin()y A x b ωϕ=++的性质有了进一步的了解，为以后解决由图定式问题奠定了基础．【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图象是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式．例2．（1）用描点法画出函数sin ,[0,]2y x x π=∈的图象．（2）如何根据（1）题并运用正弦函数的性质，得出函数sin ,[0,2]y x x π=∈的图象；（3）如何根据（2）题并通过平行移动坐标轴，得出函数【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第17题【母题评析】本题是一道综合性问题，考查了如何用五点法作图、如何利用对称性进行图象变换以及图象的平移变换．培养了学生的作图、识图能力，对sin()y A x b ωϕ=++的性质有了进一步的了解．【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图象是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式．【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第18题 【母题评析】本题是一道综合性问题，考查了函数图象的平移变换．加深了学生对周期变换、振幅变换、相位变换的进一步了解．【思路方法】使学生进一步认识到数形结合思想在解决函数的问题中的地位，以便引起学生对数形结合思想的重视．621sin ,sin ,612sin ,6y x x R y x x R y x x R =∈−−−−−−→=∈−−−−−−→=∈横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变II ．考场精彩·真题回放例1．（2017新课标1理9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 （ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D 【解析】试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则222:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x ππππ=+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin 2y x =，再将曲线向左平移12π个单位得到2C ，故选D ． 例2．（2016年高考北京理数）将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数【命题意图】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换．根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数图象的最高点、最低点确定,A h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定ϕ值． 【考试方向】sin y x =的图象变换后得到sin()y A x ωϕ=+的图象，可通过“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”两种途径得到，顺序不同，平移的单位长度就不同，这成为高考中考查方向．考查题型一般为选择题，难度较低，为容易题．【难点中心】三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，高考中比较重视考查三角函数图象的平移和伸缩、周期、最值、奇偶性、sin 2y x =的图象上，则 （ ） A ．12t =，s 的最小值为6π B．t = ，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3π D．2t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，1sin(2)432t ππ=⋅-=，故此时'P 所对应的点为1(,)122π，此时向左平移-4126πππ=个单位，故选A ．单调性、对称性及角的取值范围，同时往往注重考查对三角函数“化一”恒等变换．高考中对三角函数考查时，注重考查方程思想、整体思想、数形结合思想在解题中运用．尤其注重两种“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”两种变换的差异：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是ϕ个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是()0ϕωω>个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．例3．（2016高考新课标2文数）函数=sin()y A x ωϕ+的部分图象如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π=【答案】A【解析】由图知，2A =，周期2[()]36T πππ=--=，∴22πωπ==，∴2sin(2)y x ϕ=+，∵图象过点(,2)3π，∴22sin(2)3πϕ=⨯+，∴2sin()13πϕ+=，∴22(Z)32k k ππϕπ+=+∈，令0k =得，6πϕ=-，∴2sin(2)6y x π=-，故选A ．例4．（2016高考新课标2理数）若将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （ ） A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈ D ．()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B ． 例5．（2016高考新课标1文数）若将函数y =2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为 （ ）A ．y =2sin(2x +π4)B ．y =2sin(2x +π3)C ．y =2sin(2x –π4)D ．y =2sin(2x –π3)【解析】函数y 2sin(2x )6π=+的周期为π，将函数y 2sin(2x )6π=+的图象向右平移14个周期即4π个单位，所得函数为y 2sin[2(x ))]2sin(2x )463πππ=-+=-，选D ．III ．理论基础·解题原理考点一 图象变换与性质相结合图象变换与函数性质的综合问题可根据两种图象变换的规则，也可先通过图象变换求得变换后的函数解析式，再研究函数性质．常先通过三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质．考点二 三角函数模型的应用三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． 考点三 由函数图象求解析式的方法（1）如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式()sin y A x ωϕ=+中的参数A 和ω，再选取 “第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“0x ωϕ+=”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得ϕ．（2）通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数,,A ωϕ，依据是五点法． （3）运用逆向思维的方法，根据图象变换可以确定相关的参数． IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】以考察函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换，考查函数()sin y A x ωϕ=+解析式中参数ϕ的求法为主．sin y x =的图象变换后得到sin()y A x ωϕ=+的图象，可通过“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”两种途径得到，顺序不同，平移的单位长度就不同，这成为高考中考查方向．考查题型一般为选择题，难度较低，为容易题．【技能方法】确定()()sin 0,0y A x B A ωϕω=++>>的步骤和方法 （1）求,A B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则,22M m M mA B -+==； （2）求ω，确定函数的周期T ，则可得Tω2π=； （3）求ϕ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时,,A B ω已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”（即图象上升时与x 轴的交点）时0x ωϕ+=；“第二点”（即图象的“峰点”）时2x ωϕπ+=；“第三点”（即图象下降时与x 轴的交点）时x ωϕ+=π；“第四点”（即图象的“谷点”）时2x ωϕ3π+=；“第五点”时2x ωϕ+=π． 【易错指导】1．一个区别——两种图象变换的区别由sin y x =的图象变换到sin()y A x ωϕ=+的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是ϕ个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是()0ϕωω>个单位长度．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于x ω加减多少值．2．解答有关平移伸缩变换的题目时，向左（或右）平移m 个位时，用x m +(或x m -)代替x ，向下（或上）平移n 个单位时，用y n +（或y n -）代替y ，横（或纵）坐标伸长或缩短到原来的k 倍，用k x 代替x (或ky代替y )，即可获得解决． 3．解答三角函数性质(单调性、周期性、最值等)问题时，通常是利用三角函数的有关公式，通过将三角函数化为“只含”一个函数名称且角度唯一，最高次数为一次(一角一函)的形式，再依正(余)弦型函数依次对所求问题作出解答．求三角函数的最值的方法：（1）化为正弦(余弦)型函数 sin cos y a x b x ωω=+型引入辅助角化为一角一函；（2）化为关于sin x (或cos x )的二次函数；（3）利用数形结合法．V ．举一反三·触类旁通考向1 “知式作图”或“知图求式”（由三角函数的图象求解析式） 例1．（2018湖南永州一模）函数的部分图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A例2．（2017天津八校联考）函数()()sin f x A x ωϕ=+，（其中0A >， 0ω>，的2倍，得到的图象表示的函数可以为（ ）AC 【答案】A点睛：已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式（1） （2（3）利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ．例3．（2017山东日照三模）已知角θ始边与x 轴的非负半轴重合，与圆224x y +=相交于点A ，终边与圆224x y +=相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为C ， ABC ∆的面积为()S θ，则函数()S θ的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意()()202cos ,2sin A B θθ，，，所以()()1122cos 2sin 022S BC AC θθθ==-⋅≥，所以排除C ，D ．又当3π4θ=时， ()12S θ=>，综上可知，B 选项是正确的．考向2 图象变换与辅助角公式相结合例4．（2018辽宁六校协作体联考）已知函数（）的图象向右平移个单位后关于轴对称，则在区间上的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C例5．（2016高考新课标3理数）函数sin y x x =的图象可由函数sin y x x =的图象至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π【解析】∵sin 2sin()3y x x x π==+，sin 2sin()3y x x x π=-=-＝2sin[()]33x π2π+-，∴函数sin y x x =的图象可由函数sin y x x =的图象至少向右平移32π个单位长度得到． 考向3 图象变换与函数性质相结合例6．（2018河南林州10月调研）的图象向右平移(0)m n >个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则m 的最小值为( )A 【答案】A的图象向右平移(0)m n >个单位长度，所得函数的解析式为：，又函数图象关于y 轴对称，则1， 0m > ，当1k =-时，A ．例7．2018单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ）A 【答案】A【点睛】把sin y x =的图象沿x 轴向左（或向右）平移ϕ（0ϕ>）个单位得到函数()sin y x ϕ=+（或()sin y x ϕ=-）的图象，简称“左加右减”；从解析式角度说，把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移ϕ（0ϕ>个单位，反映在解析式上就是把原解析式中的x 替换为x φ+．例8．（2018后，所得的图象关于y 轴对称，则ω的最小正值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】因函数的图象向右平移个单位后可得，由题设1，故Z ，即()31k k Z ω=--∈，故()min 3112ω=-⨯--=，应选答案B ．例9．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ）A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π【答案】D ．【考点定位】三角函数的图象和性质．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以)sin()(ϕω+=x A x f 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等． 考向4 “五点法”、图象变换与函数性质相结合例10．（2018河北石家庄）已知函数()2sin y x ωϕ=+ (0,0)ωϕπ><<的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π【答案】B【解析】根据函数()()20,0y s i n x ωϕωϕπ=+><<的部分图象，可得125,2221212T πππωω=⋅=+∴=，再根据五点法作图可得2122ππϕ⋅+=， 0,3πϕπϕ<<∴=，故选C ．【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题．利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，使解题的关键．求解析时求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点) 时0x ωϕ+=；“第二点”(即图象的“峰点”) 时2x πωϕ+=；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点) 时x ωϕπ+=；“第四点”(即图象的“谷点”) 时32x πωϕ+=；“第五点”时2x ωϕπ+=． 例11．某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：．．．．．．．．．．．()x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图 象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 【答案】（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．∵sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ．由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6．【考点定位】“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．【名师点睛】“五点法”描图：（1）x y sin =的图象在[0，2π]上的五个关键点的坐标为：(0，0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)． （2）x y cos =的图象在[0，2π]上的五个关键点的坐标为：(0，1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)． 考向5 三角恒等变换、图象平移与函数性质相结合例12．（2018(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ）A 【答案】D例13．（2016高考山东文数）设2()π)sin (sin cos )f x x x x x =--- ． （I ）求()f x 得单调递增区间；（II ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，求π()6g 的值． 【答案】（I ）()f x 的单调递增区间是()5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（或()5(,)1212k k k Z ππππ-+∈）（∏ 解析：（I ）由()()()2sin sin cos f x x x x x π=---()212sin cos x x x =--)1cos 2sin 21x x =-+-sin 21x x =2sin 21,3x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由()222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ ∴()f x 的单调递增区间是()5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（∏）由（I ）知()f x 2sin 21,3x π⎛⎫=-⎪⎝⎭把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y =2sin 13x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，再把得到的图象向左平移3π个单位，得到y 2sin 1x =的图象，即()2sin 1.g x x =∴2sin 166g ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭考点：1．和差倍半的三角函数；2．三角函数的图象和性质；3．三角函数图象的变换． 【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质、三角函数图象的变换．此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典．解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，利用“左加右减、上加下减”变换原则，得出新的函数解析式并求值．本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等．考向6 图象变换与诱导公式相结合例14．（2016云南一测）为得到cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将sin 2y x =的图象（ ）A ．向右平移3π个单位B ．向右平移6π个单位C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】D考向7 三角函数图象与向量相结合例15．（2017江西南昌一模）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（的周期为π，若()1fα=，则 ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】由题意得选B ．例16．（2016江西赣中南五校联联）如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ωϕω=+∈>图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0PM PN ⋅=，则ω等于（ ）A ． 8B ．8π C ． 4π D ．2π【答案】B例17．（2018陕西西安模拟），且2AB BC π⋅=-（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若将()f x 的图像向左平移个单位长度，得到函数()g x 的图像，求函数()g x【答案】（1）（2，最小值2-．【解析】试题分析：（1 11,2,,AB T BC T ⎛⎫⎛== ⎪ 则2T AB BC ⋅=-，所以T π=．故2ω=，利用正弦函数的单调性解不等式，从而可得结果；（2）根据平移变换可得， 0,2x π⎡∈⎢⎣（2）由题意将()f x 的图像向左平移个单位长度，得到函数()g x 的图像，0,2x π⎡∈⎢⎣，∴当时，22x π⎛⎫+⎪ ()g x 取得最大值 ()g x 取得最小值2-．。