三角函数性质与图像 知识清单：
．．．．．．．．．．
函数s i n ()y A x ωϕ=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x
=−−−−→图例变化为
②sin()y A x ωϕ=+(A >0,ω>0)相应地，
①的单调增区间2,22
2
k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥
⎣
⎦
−−−
→变为
222
2
k x k π
π
πωϕπ-
+++≤≤
的解集是②的增区间.
注:⑴)sin(ϕω+=x y 或cos()y x ωϕ=+（0≠ω
）的周期ω
π
2=
T ;
⑵sin()y x ωϕ=+的对称轴方程是2
x k π
π=+
（Z k ∈），对称中心(,0)k π；
cos()y x ωϕ=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈）
，对称中心1(,0)
2
k ππ+；
)tan(ϕω+=x y 的对称中心（
0,2πk ）.
课前预习
1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 2π . 2． 函数1
π2sin()23
y x =+
的最小正周期T = 4π ．
3．函数sin
2
x y =的最小正周期是2π
4．函数]),0[)(26
sin(
2ππ
∈-=x x y 为增函数的区间是]6
5,
3
[
ππ
5．函数22cos()(
)3
6
3
y x x π
π
π=-
≤≤的最小值是1
6．为了得到函数)6
2sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向左平移3
π
个单位长度
7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移
3
π
个单位，所得图象的解析式是y=sin(
2
1x+
6
π
).
8．
函数sin y x x =+
在区间[0,
2
π
]的最小值为___1___.
9．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2
x +
3
2
5（x ∈R ）
⑴求f (x )的最小正周期；y=5sin(2x-3π
) T=π ⑵求f (x )单调区间；[k 12
π
π-
,k π+
12
5π], [k 12
5ππ+
,k π+
12
11π]k Z ∈
⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。

x=1252ππ+k ,(
0,6
2π
π+
k ) k Z ∈
典型例题
例1、三角函数图像变换
将函数1
2cos()3
2
y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？
变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4
y x π
=-的图像？
例2、已知简谐运动π
π()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛
⎫=+<
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最
小正周期T 和初相ϕ分别为6T =，π6
=
例3、三角函数性质 求函数34sin(2)2
3
y x ππ=
+
的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．；
变式1：函数y =2sin x 的单调增区间是［2k π－2
π
，2k π＋
2
π
］（k ∈Z ）
变式2、下列函数中，既是（0，
2
π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( B)
(A)y =lg x 2 (B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2 变式3、已知⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡
∈2,
0πx ，求函数)12
5cos(
)12
cos(
x x y
+--=ππ
的值域y=2sin （x+
6
π
）⎥⎦
⎤
⎝⎛2,22
变式4、已知函数12
()log (sin cos )f x x x =- y=log 2
1()4
sin(2π
-x )
⑴求它的定义域和值域；(2k 4
52,4
πππ
π+
+
k ) k ∈Z ⎪⎭
⎫
⎢⎣
⎡+∞-
,21
⑵求它的单调区间；减(2k 4
32,4
πππ
π+
+
k ),增(2k 4
52,4
3ππππ+
+
k ) k ∈Z
⑶判断它的奇偶性；非奇非偶 ⑷判断它的周期性.2π 例4、三角函数的简单应用
如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似
满足函数y =A sin （ωx ＋ϕ）＋b .
（Ⅰ）求这段时间的最大温差；20
（Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式．y=10sin （4
38π
π
+x ）+20
例5、三角恒等变换 函数y ＝
x
x cos sin 21
++的最大值是
2
2＋1．
变式1：
已知cos 2π2
sin 4αα=-
⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭，求cos sin αα+的值．1/2
变式2：
已知函数2π
()2sin 24f x x x ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
，ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，．求()f x 的最大值和最小值．32
实战训练
1．函数x x f 2
sin
21)(-=的最小正周期为 π
2. 函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是_π___ 3．函数)(2cos 2
1cos )(R x x x x f ∈-
=的最大值等于
16
7
4．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，
2
ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =则23
ωϕπ==
，
5．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a =(12)-， 6．．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为π2
7．将π2c o s 3
6x
y ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
的图象按向量π
24
⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭
，
a 平移，则平移后所得图象的解析式为π2c o s 2
3
4x
y ⎛⎫=+-
⎪⎝⎭ 8．．若函数
2
1()sin ()
2
f x x x R =-
∈，则f(x)是最小正周期为π的偶函数
9．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛
⎫=+
> ⎪3⎝
⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ A ）A ．关于点0π⎛⎫
⎪3⎝⎭
，
对称 B ．关于直线x π=
4
对称C ．关于点0π
⎛⎫
⎪4⎝⎭
，对称 D ．关于直线x π=
3
对称
10
．下列函数中，周期为
2
π
的是（ D ）
A ．sin
2
x y = B ．sin 2y x = C ．cos
4
x y = D ．cos 4y x =
11
．函数()sin ([,0])f x x x x π=-
∈-的单调递增区间是（ D ）
A ．5[,]6
ππ--
B ．5[,]6
6
ππ
-
-
C ．[,0]3
π
-
D ．[,0]6
π
-
12．设函数()sin ()3f x x x π⎛
⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
R ，则()f x （ A ） A ．在区间2736ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，上是增函数
B ．在区间2π⎡
⎤
-π-⎢
⎥⎣
⎦
，上是减函数 C ．在区间
84ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦，上是增函数
D ．在区间
536ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，上是减函数
13．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫
=- ⎪3⎝
⎭
的图象（ A ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移
π3
个单位
D ．向左平移
π6
个单位
14．函数sin y x =的一个单调增区间是（ C ）
A ．ππ⎛
⎫-
⎪44⎝⎭，
B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，
C ．3π⎛⎫
π ⎪2⎝
⎭， D ．32π
⎛⎫π
⎪2⎝⎭
， 15．函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是π
16．已知函数
)
2
sin(42cos 2ππ+
⎪
⎭⎫ ⎝⎛
-x x 。

（Ⅰ）求f (x )的定义域； （Ⅱ）若角a 在第一象限且）。

（求a f a ,5
3cos =
{x|x ≠k π-2
π
,k ∈Z} 14/5。