【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。

要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。

在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.【方法点评】类型一 求三角函数的单调区间使用情景：一般三角函数类型解题模板：第一步 先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数,A ω的正负；第二步 利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间； 第三步 运用三角函数的图像与性质确定其单调区间.例1 函数cos(2)4y x π=-的单调递增区间是（ ）A ．[k π＋8π，k π＋85π] B ．[k π－83π，k π＋8π]C ．[2k π＋8π，2k π＋85π]D ．[2k π－83π，2k π＋8π]（以上k ∈Z ）【答案】B.考点：三角函数单调性. 【点评】本题解题的关键是将24x π-作为一个整体，利用余弦函数的图像将函数cos(2)4y x π=-的单调递增区间转化为24x πθ=-在区间[]2,2k k πππ-+上递减的.【变式演练1】已知函数),0)(62sin()(>+=ωπωx x f 直线21,x x x x ==是)(x f y =图像的任意两条对称轴，且21x x -的最小值为2π．求函数)(x f 的单调增区间； 【答案】Z k k k ∈++-],6,3[ππππ.【解析】试题分析：根据两条对称轴之间的最小距离求周期，根据周期求ω，根据公式求此函数的单调递增区间. 试题解析：由题意得,π=T 则1,()sin(2).6f x x πω=∴=+由222,262k x k πππππ-+≤+≤+解得.,63Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ故)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-],6,3[ππππ.考点：1．()ϕω+=x A y sin 的单调性；【变式演练2】已知函数()sin()+(00 )2f x A x B A πωϕωϕ=+>><，，的一系列对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的单调递增区间和对称中心； 【答案】（1）()3sin 13f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2）52 2()66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，+ 1(3k k ππ∈Z)（，）.（2）当22()232k x k k πππππ-≤-≤+∈Z ，即52 ()266x k k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦∈Z ，时，函数()f x 单调递增．令=(3x k k ππ-∈Z)，得=+(3x k k ππ∈Z)，所以函数()f x 的对称中心为+ 1(3k k ππ∈Z)（，）． 考点：1．三角函数解析式及基本性质；2．数形结合法类型二 由sin()y A x ωϕ=+的图象求其函数式使用情景：一般函数sin()y A x ωϕ=+求其函数式解题模板：第一步 观察所给的图像及其图像特征如振幅、周期、与x 轴交点坐标等；第二步 利用特殊点代入函数解析式计算得出参数,,A ωϕ中一个或两个或三个； 第三步 要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，并进一步地确定参数； 第四步 得出结论.例2 已知函数sin()y A x ωϕ=+ ),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的图象如图所示，则该函数的解析式是（ ）（A ）)48sin(4π-π-=x y （B ）)48sin(4π-π=x y （C ）)48sin(4π+π=x y （D ）)48sin(4π+π-=x y【答案】D考点：()ϕω+=x A y sin 的图像【点评】本题的解题步骤是：首先根据已知图像与x 轴的交点坐标可得其周期为T ，进而可得ω的大小；然后观察图像知其振幅A 的大小；最后将图像与x 轴的交点坐标代入函数的解析式即可得到φ的大小. 【变式演练3】已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0,0,2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ） A ．()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2sin 46f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】考点：由)sin(ϕω+=x A y 的部分图像确定解析式。

【变式演练4】函数sin()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的图象如图所示，则y 的表达式为（ ）A ．)61110sin(2π+=x y B ．)61110sin(2π-=x yC ．)62sin(2π+=x y D ．)62sin(2π-=x y【答案】C 【解析】试题分析：由图像可知最大值为2，所以A=2，周期22236T πππω⎛⎫=-=∴= ⎪⎝⎭，代入点,26π⎛⎫⎪⎝⎭得sin 136ππϕϕ⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭，所以函数式为)62sin(2π+=x y考点：三角函数图像及性质【变式演练5】已知某三角函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（ ）A ．sin()4y x π=+B ．3sin(2)4y x π=+C. cos()4y x π=+ D ．3cos(2)4y x π=+【答案】C 【解析】考点：三角函数解析式【变式演练6】函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（ ）A ．2sin()23x y π=-B ．2sin(2)3y x π=+ C ．22sin(2)3y x π=+ D ．2sin(2)3y x π=-【答案】C 【解析】试题分析：因πππ=+=)12125(2T ,故2=ω,借助图象可以看出2=A ,所以)2sin(2ϕ+=x y ,将12π-=x 代入可得1)6sin(=-πϕ,故322622ππϕπππϕ+=⇒++=k k ,应选C ． 考点：三角函数的图象和性质及运用．【变式演练7】如图所示，是函数sin()y A x k ωϕ=++（0A >，0ω>，||2πϕ<）的图象的一部分，则函数解析式是（ ） A ．2sin(2)16y x π=++ B ．sin(2)13y x π=++ C ．12sin()226y x π=++ D ．sin(2)23y x π=++ 【答案】A 【解析】【方法点晴】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象，属于中等题型，本题可以采用直接法（即按,,,A k ωϕ顺序求解），但计算量稍大，速度较慢．本题可以采用排除法解题速度较快，即先由3(1)22A --==排除B 、D ，由3(1)12k +-==排除C ，可得正确答案A ．故解决此类题型的常用方法有：1、采用直接法（即按,,,A k ωϕ顺序求解）．2、排除法（抓住部分特征进行排除）．类型三 求三角函数的周期使用情景：一般三角函数类型解题模板：第一步 利用恒等变换将其化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式；第二步 运用周期的计算公式2T πω=直接计算可得所求.第三步 得出结论.例3 设)0(cos sin )(>+=ωωωx b x a x f 的周期π=T ，最大值4)12(=πf ，（1）求ω、a 、b 的值； （2）的值终边不共线，求、、的两根，为方程、、若)tan(0)(βαβαβα+=x f 。

【答案】（1）2,3a b ==；（23.【点评】方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性. 【变式演练8】设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上单调，且⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为（ ） A ．2πB ．2πC ．4πD ．π 【答案】D 【解析】试题解析：)sin()(ϕω+=x x f 在区间]2,6[ππ上单调，0>ω，ωπωπππ=⋅=≤∴22126-2T ，即30≤<ω，又⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，1272322πππ=+=∴x 为)sin()(ϕω+=x x f 的一条对称轴，且3262πππ=+，则)0,3(π为)sin()(ϕω+=x x f 的一个对称中心，由于30≤<ω，所以127π=x 与)0,3(π为同一周期里相邻的对称轴和对称中心，则πππ=-=)3127(4T .选D.考点：三角函数图象与性质.【方法点睛】根据三角函数的图象在某区间的单调性可判断ω的范围，根据函数值相等可判断函数图象的对称轴，根据函数值互为相反数可判断函数图像的对称中心，有了函数图像的对称轴和对称中心可判断函数的周期.【变式演练9】函数cos(2)sin(2)36y x x ππ=---的最小正周期__________．【答案】π 【解析】考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角恒等变换．【变式演练10】已知函数1()2sin()cos 62f x x x ωωπ=-⋅+ （其中0ω>）的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ） 将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象.求函数()g x 在[]-ππ，上零点.【答案】（Ⅰ） ω=1；（Ⅱ） 6π-和65π.【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用两角差的正弦函数与倍角公式化简函数的解析式，然后根据周期求得ω的值；（Ⅱ）首先根据三角函数图象的平移伸缩变换法则求得()g x 的解析式，然后利用正弦函数的图象与性质求得函数的零点.试题解析：（Ⅰ） 211()2sin()cos 3sin cos cos 622f x x x x x x ωωωωωπ=-⋅+=⋅-+312cos2sin(2)26x x x ωωωπ=-=-. 由最小正周期22T ωπ==π，得ω=1.6分 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知()sin(2)6f x x π=-，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，得到图象的解析式()sin[2()]sin(2)666h x x x πππ=+-=+，将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到()sin()6g x x π=+.由6x k k π+=π∈Z ，，得6x k π=π-， 故当[]x ∈-ππ，时，函数()g x 的零点为6π-和65π.12分 考点：1、两角差的正弦函数；2、倍角公式；3、三角函数图象的平移伸缩变换；4、正弦函数的图象与性质.【变式演练11】已知函数1)cos (sin cos 2)(+-=x x x x f . （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调增区间； （2）ABC ∆中，锐角A 满足1)(=A f ，2=b ，3=c ，求a 的值.【答案】（1） )(x f 的最小正周期为π；单调增区间为)](83,8[Z k k k ∈+-ππππ；（2） 5=a .【解析】试题分析：（1）由二倍角公式及两角和与差公式化简函数的解析式得()2sin(2)4f x x π=-，由22T ππ==可求该函数的最小正周期，由)(224222Z k k x k ∈+≤-≤+-πππππ可求函数的单调递增区间；（2）由()1f A =先求出角4A π=，再利用正弦定理即可求a .（2）由题意知1)42sin(2)(=-=πA A f ，22)42sin(=-πA ， 又A 为锐角，∴442ππ=-A ，∴4π=A ，由余弦定理得54cos322922=⨯⨯-+=πa ，∴5=a .考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质；3.余弦定理.【名师点睛】本题考查.三角恒等变换、三角函数的图象与性质、余弦定理，属中档题；利用同角三角函数基本关系化简的基本方法是切化弦，角的表示与化为一个角的三角函数是解本题的关键，熟练掌握公式是解题的基础.【高考再现】1. 【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.2. 【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B. 考点： 三角函数的图象变换与对称性.【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 3. 【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B 【解析】考点：1、降幂公式；2、三角函数的最小正周期．【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数()f x ，再判断b 和c 的取值是否影响函数()f x 的最小正周期．4. 【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6π B.3t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3π D.3t =，s 的最小值为3π【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，1sin(2)432t ππ=⋅-=，故此时'P 所对应的点为1(,)122π，此时向左平移-4126πππ=个单位，故选A. 考点：三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换5. 【2016高考山东理数】函数f （x ）=（3sin x +cos x ）（3cos x –sin x ）的最小正周期是（ ） （A ）2π（B ）π（C ）23π（D ）2π 【答案】B 【解析】考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等. 6. 【2016高考天津理数】已知函数f(x)=4tanxsin(2x π-)cos(3x π-)-3.（Ⅰ）求f (x )的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间[,44ππ-]上的单调性.【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，.π （Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()()=2sin 23f x x π-，再根据正弦函数性质求定义域、周期()II 根据（1）的结论，研究三角函数在区间[,44ππ-]上单调性。