反比例函数经典结论：如图，反比例函数k 的几何意义： (I ) 12AOB AOC S S k ∆∆==； (II ) OBAC S k =矩形。

下面两个结论是上述结论的拓展.(1) 如图①，OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形。

(2)如图②，OAPB OBCA S S =梯形梯形，BPE ACE S S ∆∆=。

1.如图，已知双曲线(0)ky x x=>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = ；2.如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行线交双曲线1(0)y x x=>于C D 、两点，若2BD AC =，则224OC OD -= .3.如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数xy 6=的图象交),(),,(2211y x B y x A ，那么))((1212y y x x --值为 .CBA oyxEP DCA oyx图① E P CBAoyx图②DC B A o xyF ECB Aoxy4. 如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚，C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．(1) 求反比例函数xmy =和一次函数b kx y +=的表达式； (2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积．5.如图，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．O ABCxyDOx A yB6.如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．（1）若OA=10，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．Ex67.如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．（1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线1y x b2过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．8.如图，将边长为4的等边三角形AOB 放置于平面直角坐标系xOy 中，F 是AB 边上的动点（不与端点A 、B 重合），过点F 的反比例函数y=（k ＞0，x ＞0）与OA 边交于点E ，过点F 作FC ⊥x 轴于点C ，连结EF 、OF ．（1）若S △OCF =，求反比例函数的解析式；（2）在（1）的条件下，试判断以点E 为圆心，EA 长为半径的圆与y 轴的位置关系，并说明理由；（3）AB 边上是否存在点F ，使得EF ⊥AE ？若存在，请求出BF ：FA 的值；若不存在，请说明理由．9.如图，过点P (－4，3)作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线xk y =（k ≥2）于E 、F 两点．（1）点E 的坐标是________，点F 的坐标是________；（均用含k 的式子表示） （2）判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论； （3）记OEF PEF S S S ∆∆-=，S 是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由． Ex9xA B OEF P y10.如图，已知正比例函数y = ax （a ≠0）的图象与反比例函致xky（k ≠0）的图象的一个交点为A （－1，2－k 2），另—个交点为B ，且A 、B 关于原点O 对称，D 为OB 的中点，过点D 的线段OB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于C 、E ．（1）写出反比例函数和正比例函数的解析式； （2）试计算△COE 的面积是△ODE 面积的多少倍．11.如图，已知双曲线y=经过点D （6，1），点C 是双曲线第三象限上的动点，过C 作CA ⊥x 轴，过D 作DB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，连接AB ，BC ． （1）求k 的值；（2）若△BCD 的面积为12，求直线CD 的解析式； （3）判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．E D B A xy OC12.如图，已知一次函数y1=kx+b图象与x轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于B（﹣1，5）、C（，0）两点．点P（m，n）是一次函数y1=kx+b的图象上的动点．（1）求k、b的值；（2）设﹣1＜m＜，过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设m=1﹣a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．13.如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．（1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．14.如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E，直线EF 分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若k=4，则△OEF的面积为；②若，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；④若DE•EG=，则k=1．其中正确的命题的序号是（写出所有正确命题的序号）．15.如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数42myx-=（x>0）图象于点A、B，交x轴于点C．（1）求m的取值范围；（2）若点A的坐标是（2，－4），且13BCAB=，求m的值和一次函数的解析式；Ex1516.如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD△x轴于点D，BC△x轴于点C，DC=5．（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；（2）连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．17.平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在函数y 1=（x ＞0）与y 2=﹣（x ＜0）的图象上，A 、B 的横坐标分别为a 、b ．（1）若AB△x 轴，求△OAB 的面积；（2）若△OAB 是以AB 为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab 的值；（3）作边长为3的正方形ACDE ，使AC△x 轴，点D 在点A 的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a ，CD 边与函数y 1=（x ＞0）的图象都有交点，请说明理由．18.如图1，反比例函数)0(>=x xky 的图象经过点A （32，1），射线AB 与反比例函数图象交与另一点B （1，a ），射线AC 与y 轴交于点C ，y AD BAC ⊥=∠,75 轴，垂足为D ．（1）求k 的值；（2）求DAC ∠tan 的值及直线AC 的解析式； （3）如图2，M 是线段AC 上方反比例函数图象上一动点，过M 作直线x l ⊥轴，与AC 相交于N ，连接CM ，求CMN ∆面积的最大值．图1A BCD Ox y图2AB CDO xyMNl19.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=．（1）求边AB的长；（2）求反比例函数的解析式和n的值；（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．20.在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．Ex2021.如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y＝(k＞0)经过边OB的中点C和AE的中点D．已知等边△OAB的边长为4．(1)求该双曲线所表示的函数解析式；(2)求等边△AEF的边长．22.如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．（1）求k的值；（2）点N（a，1）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23.如图，定义：若双曲线y ＝ kx (k ＞0)与它的其中一条对称轴y ＝x 相交于A 、B 两点，则线段AB 的长度为双曲线y ＝ kx (k ＞0)的对径．(1)求双曲线y ＝ 1x 的对径；(2)若双曲线y ＝ kx (k ＞0)的对径是102，求k 的值； (3)仿照上述定义，定义双曲线y ＝ kx (k ＜0)的对径．24.如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（2,2），反比例函数xky（x ＞0，k ≠0）的图像经过线段BC 的中点D .（1）求k 的值；（2）若点P(x,y)在该反比例函数的图像上运动（不与点D 重合），过点P 作PR ⊥y 轴于点R,作PQ ⊥BC 所在直线于点Q ，记四边形CQPR 的面积为S ，求S 关于x 的解析式并写出x 的取值范围.25.如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合．A ，C 分别在坐标轴上，点B 的坐标为(4，2)．直线321+-=x y 交AB ,BC 分别于点M ,N ,反比例函数x k y =的图像经过点M ，N.（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在y 轴上，且△OPM 的面积与四边形BMON 的面积相等，求点P 坐表标． Ex2526.如图，已知矩形OABC 中，OA =2，AB =4，双曲线（k ＞0）与矩形两边AB 、BC 分别交于E 、F 。