反比例函数压轴题类型一、反比例函数与几何图形的综合1、反比例函数与求四边形面积、存在性问题（正方形）26. (历下区一模、本题满分9分) 如图，正比例函数y ＝ax 与反比例函数＞0)的图象交于点M （6，6）． (1)求这两个函数的表达式；(2)如图1，若∠AMB ＝90°，且其两边分别于两坐标轴的正半轴交于点A 、B ．求四边形OAMB 的面积．(3)如图2，点P 是反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象上一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，PF 交直线OM 于点H ，过作x 轴的垂线，垂足为G ．设点P 的横坐标为m ，当m ＞6时，是否存在点P ，使得四边形PEGH 为正方形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．26．解：（1）将点分 解得：a ＝1，k ＝6 2分∴这两个函数的表达式分别为：y ＝x 3分（2）过点M 分别做x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C 、D .则∠MCA ＝∠MDB ＝90°，∠AMC ＝∠BMD ＝90°－∠AMD ，MC ＝MD ＝6， ∴△AMC ≌△BMD ，…5分∴S 四边形OCMD ＝S 四边形OAMB ＝6，…6分∵∠MOE＝45°，∴OG ＝GH， ∴OE ＝ OG ＋GH ∴2x8分P 3）. …9分2、反比例函数与判断平行四边形、存在性问题（矩形）26. (市中区一模、本题满分9分)如图1，已知双曲线y ＝k x（k ＞0）与直线y ＝k ′x 交于A 、B 两点，点A 在第一象限，试回答下列问题：（1）若点A 的坐标为（3，1），则点B的坐标为__________；当x 满足：________时，k x≤k ′x ；（2）如图2，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线y ＝k x（k ＞0）于P ，Q 两点，点P 在第一象限．①四边形APBQ 一定是___________；②若点A 的坐标为（3，1），点P 的横坐标为1，求四边形APBQ 的面积．，(3)设点A ，P 的横坐标分别为m ，n ，四边形APBQ 可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m ，n 应满足的条件；若不可能，请说明理由。

26.【解答】解：（1）点B 的坐标为（﹣3，﹣1）， …… 1分 由图象可知，当﹣3≤x ＜0或x ≥3时，≤k ′x ，…… 3分（2）① 平行四边形； … 4分 ②∵点A 的坐标为（3，1），∴k ＝3×1＝3，∴反比例函数的解析式为y ＝，∵点P 的横坐标为1， ∴点P 的纵坐标为3，∴点P 的坐标为（1，3），由双曲线关于原点对称可知，点Q 的坐标为（﹣1，﹣3），点B 的坐标为（﹣3，﹣1），如图2，过点A 、B 分别作y 轴的平行线，过点P 、Q 分别作x 轴的平行线，分别交于C 、D 、E 、F ，则四边形CDEF 是矩形，CD ＝6，DE ＝6，DB ＝DP ＝4，CP ＝CA ＝2，则四边形APBQ 的面积＝矩形CDEF 的面积﹣△ACP 的面积﹣△PDB 的面积﹣△BEQ 的面积﹣△AFQ 的面积＝36﹣2﹣8﹣2﹣8＝16． … 6分 (3) mn ＝k 时，四边形APBQ 是矩形，… 7分 不可能是正方形. …8分 理由：当AB ⊥PQ 时四边形APBQ 是正方形，此时点A 、P 在坐标轴上，由于点A ，P 可能达到坐标轴故不可能是正方形，即∠POA ≠90°．……………………9分3、反比例函数与三角形、平行四边形的面积26.（本小题满分9分）如图1，直线l 交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，与反比例函数(0)k y k x =>的图像交于两点A 、E ，AG ⊥x 轴，垂足为点G ，S △AOG ＝3．（1）k ＝ ；（2）求证：AD ＝CE ；(3)如图2，若点E 为平行四边形OABC 的对角线AC 的中点，求平行四边形OABC 的面积26.解：（1）k ＝6 ‥‥‥3分（2）证明：作EH ⊥y 轴，垂足为H ，EH 交AG 于点P ，26题图26题图 设66(,),(,)A a E b a b ∵AG ⊥x 轴 EH ⊥y 轴 ∴6(0,),(,0)H G a b∴ PA PE PG PH= 又∵APE HPG ∠=∠ ∴△APH ∽△GPH ‥5分∴∠P AE ＝∠PGH ∴ HG ∥CD ∴ 四边形DAGH 、HECG 为平行四边形 ∴ AD ＝CE ．‥‥‥6分（3）由上问知：AD ＝CE ＝AE ，∵AG ⊥x 轴 ∴AGy 轴∴13OG AD OC CD == ∵S △AOG ＝ 3 ∴S △OAC ＝ 9 ∴ S 平行四边形OABC ＝18 ‥‥‥9分 4、反比例函数与中点的证明、存在性问题（菱形）26．(本小题满分9分、槐荫区一模)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m x(x ＞0)的图象交于点P (n ，2)，与x 轴交于点A (－4，0)，与y 轴交于点C ，PB 丄x 轴于点B ，点A 与点B 关于y 轴对称．(1)求一次函数、反比例函数的解析式；(2)求证：点C 为线段AP 的中点；(3)反比例函数图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形，如果存在，说明理由并求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．26. (1)∵点A 与点B 关于y 轴对称，∴AO ＝BO ，∵A (－4，0)，∴B (4，0)，∴P (4，2),1分把P (4，2)代入y ＝m x 得m ＝8，∴反比例函数的解析式：y ＝8x2分把A (－4，0)，P (4，2)代入y ＝kx ＋b 得：0424k b k b =-+⎧⎨=+⎩，解得：141k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以一次函数的解析式：y ＝14x ＋1.3分 (2) ∵点A 与点B 关于y 轴对称，∴OA =OB ， 4分∵PB 丄x 轴于点B ，∴∠PBA =90°， ∵∠COA =90°，∴PB ∥CO ，∴点C 为线段AP 的中点.5分(3)存在点D ，使四边形BCPD 为菱形.6分∵点C 为线段AP 的中点，∴BC =12AP PC =，∴BC 和PC 是菱形的两条边7分 由y ＝14x ＋1，可得点C (0，1)，过点C 作CD 平行于x 轴，交PB 于点E ，交反比例函数y ＝8x的图象于点D ，分别连结PD 、BD ，∴点D （8，1）， BP ⊥CD ∴PE ＝BE ＝1， ∴CE ＝DE ＝4，∴PB 与CD 互相垂直平分，8分∴四边形BCPD 为菱形.a PH ab PE bPG ab a b b a PA =-==-=-=∴;6;)(666∴点D （8，1）即为所求. 9分二、反比例函数与一次函数的综合1、反比例函数与一次函数的求法、两直线的位置关系、角的度数26.( 17天桥一模、本小题满分9分) 如图，已知点D 在反比例函数y ＝m x的图象上，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点B （0,3）．过点A （5,0）的直线y ＝kx ＋b 与y 轴于点C ，且BD＝OC ，tan ∠OAC ＝23(1)求反比例函数y ＝m x 和直线y ＝kx ＋b 的解析式；(2)连接CD ，试判断线段AC 与线段CD 的关系，并说明理由；(3)点E 为x 轴上点A 右侧的一点，且AE ＝OC ，∵过A （5,0），），，（2-0C ∴⎩⎨⎧=-+=b b k 250解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==252b k ∴252-=x y ...3分（2）∵），，（30B ），，（2-0C ∴，OA BC ==5∵OC BD AOC DBC =∠=∠,，∴BCD OAC ∆∆≌， …...4分 ∴，CD AC =∴BCD OAC ∠=∠，..5分∴，︒=∠+∠=∠+∠90BCA OAC BCA BCD ∴CD AC ⊥．…...6分(3)︒=∠45BMC …..7分连接AD ， ∵OC BD OC AE ==，，BD AE =∴轴，∥x BD ∴四边形AEBD 为平行四边形，∴，∥BM AD ∴DAC BMC ∠=∠….8分∵BCD OAC ∆∆≌，∴CD AC =∵CD AC ⊥∴为等腰直角三角形ACD ∆∴DAC BMC ∠=∠＝45°………..9分2、反比例函数与直角三角形26. (本小题满分9分、历城区 一模) 如图，已知点A （5，0），B （0，5），把一个直角三角尺DEF 放在△OAB 内，使其斜边FD 在线段AB 上，三角尺可沿着线段AB 上下滑动．其中∠EFD=45°，ED=2，点G 为边FD 的中点．（1）求直线AB 的解析式；（2）如图1，当点D 与点A 重合时，求经过点G 的反比例函数y=k x（k≠0）的解析式；（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G 的反比例函数的图象能否同时经过点F ？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由． 26. 解：（1）设直线AB 的解析式为y=kx +b ，∵A （5，0），B （0，5），∴505k b b +=⎧⎨=⎩，解得：15k b =-⎧⎨=⎩ ，∴直线AB 的解析式为：y=﹣x +5；…3分（2）∵在Rt △DEF 中，∠EFD=45°，ED=2，∴EF=2，DF=22 ，∵点D 与点A 重合，∴D （5，0），∴F （3，2），∴G （4，1），5分∵反比例函数y=经过点G ，∴k=4，∴反比例函数的解析式为：y=4x；…6分 （3）经过点G 的反比例函数的图象能同时经过点F ；理由如下：∵点F 在直线AB 上， ∴设F （t ，﹣t +5），又∵ED=2，∴D （t +2，﹣t +3），∵点G 为边FD 的中点．∴G （t +1，﹣t +4），…8分若过点G 的反比例函数的图象也经过点F ，则，t(-t+5)=(t+1)(-t+4)解得：t=2，则F （2,3）设解析式为y=，∴m=6，∴经过点G 的反比例函数的图象能同时经过点F ，这个反比例函数解析式为：6y x= ．………………9分 26.（17长清一模）如图，反比例函数y= k/x （x ＞0）的图象经过线段OA 的端点A ，O 为原点，作AB ⊥x 轴于点B ，点B 的坐标为（3，0），tan ∠AOB= 2/5 ．（1）求k 的值；（2）将线段AB 沿x 轴正方向平移到线段DC 的位置，反比例函数y=k/x （x ＞0）的图象恰好经过DC 上一点E ，且DE ：EC=3：1，求直线AE 的函数表达式；（3）若直线AE 与x 轴交于点，N ，与y 轴交于点M ，请你探索线段AM 与线段NE 的大小关系，写出你的结论并说明理由．设直线AE 的函数表达式为y=kx+b 则⎩⎨⎧+=+=b k b k 12134， 5分解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=531b k ，∴直线AE 的函数表达式为 y=-31x+5；…6分（3）结论：AM=NE ．理由：在表达式y=-31x+5中，令y=0可得x=15，令x=0可得y=5∴点M （0，5），N （15，0 ）．延长DA 交y 轴于点F ，34k xk x则AF ⊥OM ，且AF=3，OF=4，∴MF=OM-OF=1，∴由勾股定理得AM=10132222=+=+MF AF ．∵CN=15-12=3，EC=1，∴根据勾股定理可得EN=10132222=+=+CE CN ∴AM=NE ． 9分或由三角形全等证明。