习题 1—1 解答1．设xf (x, y ) xy，求yf(x ,y),f1(x,1),yf (xy,xy),f1(x, y)解xf (x ,y ) xy；yf1(x,1)y1xyyx; f (xy,xy)x2y ;2 f1(x, y)yxy2x2．设f (x, y ) ln x ln y ，证明：f (xy,uv ) f (x,u ) f (x,v ) f (y,u ) f (y,v)f (xy,uv ) ln(xy ) ln(uv ) (ln x ln y)(ln u ln v )ln x ln u ln x ln v ln y ln u ln y ln vf (x,u ) f (x,v ) f (y,u ) f (y,v)3．求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：（1）f (x, y ) 1x 2 y 2 1;4x y（2）f (x, y ) ;ln(1x y )22 2x y z2 2 2（3）f (x, y ) 1;a b c2 2 2x y z（4）f (x, y, z ) .1x 2 y z2 2解（1）D {(x, y) x 1, y 1y1-1 O 1x-1（2）D (x, y) 0x y 1, y 4x2 2 y21-1 1O x-11（3）D x y z2 2 2(x, y ) 1a b c2 2 2zc-a-b O b yax（4）( , , ) 0, 0, 0, 1D x y z x y z x 2 y z2 2z１O y１１x4．求下列各极限：1xy （1）limx0 x y2 2y 11 0= 1 0 1ln(x e y ln(1 e )) 0（2）lim ln 2 x 1 2 12 0x yy02 xy4 (2xy 4)(2 （3）lim limx xy xy0 0 (xy x 2xy4) 4)14y0 y0sin(xy) sin(xy)（4）lim lim x 2 x y2 x 2 xyy0 y05．证明下列极限不存在：x y （1）lim ;x 0 x yy0x y2 2 （2）limx 0 x y (xy )2 2 2y0（1）证明如果动点P(x, y) 沿y 2x 趋向(0,0)x y x 2x则lim lim 3；x 0 x 0x y x 2xy2x0如果动点P(x, y) 沿x 2y 趋向(0,0) ，则lim lim 3 3x y yy0 x y y0 yx 2 y02所以极限不存在。
（2）证明：如果动点P(x, y) 沿y x 趋向(0,0)x y x2 2 4则lim lim 1；x y (x y ) x2 2 2 4x 0 x 0y x0x y 4x2 2 4如果动点P(x, y) 沿y 2x 趋向(0,0) ，则 0lim limx y ( x x2 2 2 4 2x y) 4x 0 x 0y2x0所以极限不存在。
6．指出下列函数的间断点：（1）f (x, y)y 2x2；（2）z ln x y 。
y 2x解（1）为使函数表达式有意义，需y 2x 0 ，所以在y 2x 0 处，函数间断。
（2）为使函数表达式有意义，需x y ，所以在x y 处，函数间断。
习题 1—21．（1）xzyyxz1x yyx2；1zy xxy2. z(2) y cos(xy) 2y cos(xy) sin(xy) y[cos(xy) sin(2xy )]xzx cos(xy) 2x cos(xy) sin(xy) x[cos(xy) sin(2xy )] y(3)zxy (1xy) y 1 y y (1xy )2 y 1,1 z xlnz= yln(1+xy)，两边同时对 y 求偏导得 ln(1xy ) y ,z y 1xyz yxyz[ l n1(xy ) ] (1xy) [ l n1(y 1xy xy)xy]1xy;(4) zx1x2yx3yx2x3x(x 3,31z yxx2yx2x31y; y yu y u 1 uy y1x , x x,z lnzx z y z zyz2xyzln x(5) ;(6) u )z 1z(x yx2z1 (x y),u z yz 1(x )y2z1 (x y),u z(xy)z(x1ln(xy)2zy);2.(1) z x y, z x, z 0, z 1, z 0;y xx xy yy(2) z x a sin 2(ax by), z b sin 2(ax by),yz xx 2a2 cos 2(ax by), z 2ab cos 2(ax by), z 2b2 cos 2(ax by) .xy yy3 f x , f 2z, f 2x, f2z,y2 2xz, f 2xy z , f 2yz x xx2 2y z xz yzf xx f f .(0,0,1) 2, (1,0, 2) 2, (0,1,0) 0xz yzt t t t4 z x )2 sin 2(x ), z sin 2(x ), z 2 cos 2(x ), z cos 2(xt xt tt2 2 2 22z z x t x t2 cos 2( ) 2 cos 2( ) 0.xt2 2tty y y yy 1 y 15.(1) z x e x y e 2 e dy, x , dz e dxz x xx x x x2;1 2 2(2) z ln(xy ) ,2xz ,xx2 y2y x yz , dz dxdy ;yx2 y2 x2 y x y2 2 2(3)yyx2z,x y1 x y( )1 x y2 22xz1xx,dzy yx y2 21 ( )2xydx xdy;x 2 y24(4) yz 1 , y ln ,u z yx ln x ,u x yzx u zx yz xyzdu yzx yz1dx zx yz ln xdy yx yz ln xdz .6. 设对角线为 z,则z x 2 y2 ,xz,xx2 y2yz, dzyx2 y2xdxydyx 2 y 260.058(0.1)当x 6, y 8,x 0.05,y 0.1时, z dz =-0.05(m).62 827. 设两腰分别为 x、y,斜边为 z,则z x 2 y2 ,xz，xx2 y2 zy, dzyx2 y 2x dxydyx 2 y2,设 x、y、z 的绝对误差分别为、、,x y z当x 7, y 24, x x 0.1, y 0.1时, z 72 242 25y70.1 240.1z dz =0.124,z 的绝对误差 0.124z72 242z 的相对误差zz 0.124.0.496% 258. 设内半径为 r，内高为 h，容积为 V，则V 2 h,V r 2rh, h , dV 2rhdr r dh,r V r2 2当r 4,h 20,r 0.1,h 0.1时,V dV 2 3.144200.1 3.1442 0.1 55.264(cm3 ).习题 1—3yf f dy fdudx dzz1.dx x dx y dx z dx1 ( ) 2xyzx xyz zax2aexy xy1( 2) 1 ( )2z z2a(ax1)= y[z a xzz22axy(axx2y21)]=(ax 1)e (1 a 2ax 2x )(ax 1) x e4 2 2ax.2.z ffx xx =x34xarcsin11x y xy442 2 2=54x3arcsinx41y4x2z ffz f fyyy=y4yarcsin31 xy1x y1x y442 2 2=4y3arcsinx41y4x23. (1)ux= 2xf ye xyf ,12uy=2yfxy f(2)ux=1y f ,1(3)ux= f 1 yf 2 yzf3 ,uy=(4)ux= 2xf 1 yf 2 f 3uy=2yf 1xf 2f3 ,4 .(1)zxyf ,1zxf1 fy2,2 z fy2f ,11y y fy1x2x11z2 fyf 1f y f y( f x f ) f xyf yf,x y y y1 1 1 11 12 1 11 122 f fzxf f x x( f x f ) f x f x f 2xf f1 2 2yy y y211 12 21 22 11 12 221 2(2)zy2 f 2xyf,x1 2z2xyf xf2y12,z2x2xy f2xyf212y2f1x 2yf22xyf2x2y ( f11 f2xy )2yf2f12y22xy(f22f21y2f222xy).y42yf 24x2124xy3z 2x yyy2xyf2 f122yf1y2f1y2xf22xyf2y 62yf12yf1 z2y2y2xf12xy(2xf15u u u y 1 u u u x u u1 ux 3 uy 3,,s x s y s 2 x 2 y t x t y t2 x 2 yuuu u 3u13( )2 ( )( )22s 4x 2x y 4y,uuu((u u u u( )2 ( ) ( ) ( ) .2 22s t x y6 (1) 设F(x, y, z ) x y z e(x y z) , F 1(x y z) , F 1(x y z) ,x e y eF 1x y z ,( )zez xF x F zF z 1,1yyFz(2)设F (x , y , z )z x2y 2tanx2z y2,3xzz1F x)( ) 2tanxy sec(x yxz2222222xyxyxy222222=x 2x y 2tan x 2z y 2x 2xz y 2sec 2 x 2z y 2,3yz z1F ytan xy sec( )(xy ) 2 ( 2yz )222222xyxyxy222222=y zyzztansec2xy22x y xyxy 2 22222,Fz1x 2 ysec 2 2x 2z y 2 1 x 2 y 2z=tan ,2 xy227z xF x z xz zx cotcsc ,2Fx y2 2x y x y x y2 2 2 2 2 2zz yFyFzy z yzzcot csc2 x 2 y x y x yx y2 22 2 22 2.(3) 设F(x, y, z ) x 2y z 2 xyz , F x1y zxFy 2x zyxyFx1,zz xF=xFzyzxyzxyzxyz,yF=yFzxz 2xyzxyzxy.x z x(4) 设F(x, y, z ) ln ln z ln y ,z y z Fx1, Fyz1yFzx 1,2z zz xF z z,xF x zyzF 2z,yF y(x z)z7.设F(x, y, z ) x 2y 3z 2 sin(x 2y 3z) , F x 1 2 cos(x 2y 3z ),F y 2 4 cos(x 2y 3z) , F z 3 6 cos(x 2y 3z),z x FxFz13z,yFyFz23,zzx y1.8.设F(x, y, z ) (cx az,cy bz), F x c 1 ,F c 2 , F a 1 b2,y zz xF czx1 ,F a byz 1 2FyFzc2ab1 2,z za bcx y.9. (1)方程两边同时对 x 求导得dz dx2xdy2x2y ,dxdy dz4y 6zdx dxdyd xdy解之得0,dxx(6z2y(3zx3z 11)1),(2) 方程两边同时对 z 求导得8dxdz2xdy10,dzdxdy2yd zdz2z解之得dxdzdydzyxzxzyxy,.(3) 方程两边同时对 x 求偏导得1 eu0 euuxuxuxuxuvs i n vu c o s v ,xx解之得vvc o s v u s i n v ,xxsin v,e (sin v cos v ) 1ucos v eu.u[e (sin v cos v )1]u同理方程两边同时对 y 求偏导得1eueuuyuyusin vcos vyuyvu c o s v ,yvu s i n v ,y解之得uxvxcos v,e (sin v cos v ) 1usin v eu.u[e (sin v cos v )1]u习题 1－41．求下列函数的方向导数ulPo（1）2 3 , 1,1, 0,1, 1,2ux y z P l 22u解：P2x 2xPu y Py 4P4u zPz6P1 l 0 ( ,61 6,2 6)u lP2* 1 6 4*(1 6)2 6. y（2）u( )z , P 0 (1,1,1),l ( 2,1,1);xu yzy 解：z ( ) 1 ( ) 1,Pxxx2Puy1z 1 z ( ) ( ) 1, Px x Py9uzyy( )zl n ( )P xxP0,2 1l 0( , ,6 616)ul P0(1)*261*1616.（3）u ln(x 2 y ),P (1,1),l 与ox 轴夹角为;23 u 2x解：0 2 2 1,x P x yPuy2y0 2 21,P x yP由题意知,则,3 6l ( c os ,c o s ) 03612(,3)2ul P01*121*32123.（4）u xyz,P0 (5,1,2),P (9,4,14),l P P.1 0 1ux PyzP0 2,uy P xzP0 10,zP xy 5,P0 04 3 123 ), ( ,13 13 13l (4, ,12 l 0 , ),u 4 3 12 982*10* 5*.l 13 13 13 13P2．求下列函数的梯度gradf（1）f (x, y ) sin(x2 y ) (cos(xy2 );10f解：cos(x2 y) *(2xy) sin(xy2 )*y2 ,xfcos(x2 y)*x2 sin(xy2 ) *(2xy),yg r a d f ( 2xy c o s x(2 y) y2 s i n x(y2 ), x2 cos(x2 y) 2xy sin(xy2 ))xy(2) f (x, y) e y .xx x xfyy y 1 1 y解：) e (1),( ye e yx 2 x y x xxx x xfy1 y x 1 1e e () e ( ),y yy x x 2 x yyx xgradf 1 (1)，(1 1)( e y ）。