2018-2019 大学数学(B1) 练习题
第一章
一、选择题
1. 下列函数中不是基本初等函数的是…………………………………………（ ）
A. 反三角函数
B. 符号函数
C. 对数函数
D. 幂函数
2. 下列函数是无界函数的是……………………………………………………（ ）
A.x y sin =
B.x y arctan =
C.x
y 1
sin
= D.3x y = 3. 下列各组函数中相等的是……………………………………………………（ ）
A.2
ln )(,ln 2)(x x g x x f ==
B.0
)(,1)(x x g x f ==
C.1)(,11)(2-=-⋅+=
x x g x x x f D.2)(|,|)(x x g x x f ==
4. 下列函数中为奇函数的是……………………………………………………（ ）
A.)1ln()(2++=x x x f
B.|
|)(x e x f = C.x x f cos )(= D.1
sin )1()(2--=
x x
x x f
5. 下列说法中正确的是…………………………………………………………（ ）
A. 有界数列必定收敛
B. 收敛数列必定有界
C. 单调数列必定收敛
D. 收敛数列必定单调 6. 极限x
x
x x sin lim
+∞→的值为……………………………………………………（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．∞ 7. 极限)21(
lim 2
22n n
n n n +++∞→ 的值为………………………………………（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
1
D ．∞
8. 极限x
x x 10
)
1(lim -→-的值为 ……………………………………………………（ ）
A ．1
B ．e -
C ．e
1
D ．e 9. 极限x
x x
x 2)1(
lim +∞
→的值为 ……………………………………………………（ ）
A ．1
B ．
e C ．e D ．2e
10. 当0→x 时，下列各项中与 2
3
x 为等价无穷小的是………………………（ ）
A ．x x sin tan -
B ．x cos 1-
C ．)1(3-x
e x D ．)1ln(x + 11. 设12)(-=x
x f ，则当0→x 时，有……………………………………….（ ）
A ．)(x f 与x 是等价无穷小
B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小
C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小
D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 12. 设1,1
()0,1x f x x ≤⎧=⎨
>⎩
，则([()])f f f x = ……………………………………（ ）
A ．0
B ．1
C ．1,10,1x x ≤⎧⎨>⎩
D ．1,1
0,1x x >⎧⎨≤⎩
13. 函数2sin ,0()0,
0x
x f x x x x ⎧≠⎪
=-⎨⎪=⎩的间断点个数为………………………………（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
14. 设函数⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤--<≤≤≤-=01,110,
21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是………………（ ） A ．在0=x ,1=x 处间断 B ．在0=x ,1=x 处连续
C ．在0=x 处间断，在1=x 处连续
D ．在1=x 处间断，在0=x 处连续
15. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,
,sin )(x A x x
x x f 在0=x 处连续，则A 为………………………（ ） A. 0
B. 1
C. -1
D. 任意常数
二、填空题
16.
函数ln y x =的定义域为（用区间表示） ．
17. 函数x
x
y -+=
11的定义域为（用区间表示） ．
18. 已知x
x
x f +=
1)(，则=))((x f f ． 19. 已知x e x g x x x f =⎪⎩⎪⎨
⎧≥<=)(,1
,01
,1)(，则=))((x g f ． 20. 函数x x y 235
3+-=
的反函数为 ．
21. =→x
x x 1sin lim 2
0 ．
22. 当________=α时，α
x 与x 2sin 是0→x 时的同阶无穷小. 23. 设1sin lim
0-=→x
kx
x ，则=k ．
24. 设2
1
)1(lim e kx x
x =+→，则=k ．
25. 2
cos lim 2
π
π
-
→x x x ＝ ．
26. 22
43
lim 351
n n n n n →∞++=-+ ． 27. =+++∞
→1
)1
232(
lim x x x x ． 28. 设⎪⎩⎪⎨⎧
≤+>=0
,0
,1sin )(2
x x a x x
x x f 在点0=x 处连续，则=a ． 三、解答与证明题
29. 求下列数列极限 （1）⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1
321211lim n n n ； （2）)12(lim +-+∞→n n n n ； （3）⎪⎭⎫
⎝
⎛++++++∞→n n n n n n n n 22221lim ； （4）n n n n
x 10...21lim +++∞→． 30. 求下列函数极限
（1）15723lim 2323+++-∞→x x x x x ； （2）1
34lim 22++∞→x x x ； （3）5030
20)12()23()32(lim ++-∞→x x x x ；
（4）1
1
lim
3
1--→x x x ； （5）28lim 32--→x x x ； （6）)13
11(lim 31x x x ---→； （7）)1(lim x x x -
++∞
→； （8）x x x x ln )1(lim
1-→； （9）x
x
x sin ln lim 0→；
（10）x x
x 3sin 2sin lim 0→； （11）30sin tan lim x x x x -→； （12）x x x 1
0)51(lim -→； （13）
x
x x sin 3
)21(lim +→； （14
）2
x → （15
）lim x →+∞
；
（16）lim [ln(21)ln(2)]x x x x →+∞
+-．
31. 若43
2lim
23=-+-→x a
x x x ，求a 的值． 32. 若已知41
1
lim
2
1
=-++→x b a x x ，求a , b 值． 33. 当 a 取何值时，函数)(x f 在 x =0 处连续：
（1）⎩⎨⎧≥+<=0,0
,)(x x a x e x f x ；
（2）⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+>-+=0),cos(0,1
1)(x x a x x
x x f ． 34. 证明（1）方程0142
3
=+-x x 在区间（0,1）内至少有一个根；
（2）方程x e x 3=在)1,0(内至少有一个根．。