9、已知向量 ＝ = ,若 ，则 的最小值为；
１0、（2012北京卷）已知正方形AＢＣＤ的边长为1,点E是ＡＢ边上的动点，则 的值为___＿____， 的最大值为______；
1１、如图，在平面直角坐标系中,正方形 的边长为 , 为 的中点,若 为正方形
内（含边界）任意一点，则 的最大值为;
12、如图，线段 长度为 ，点 分别在 非负半轴和 非负半轴上滑动，以线段 为一
专题十、平面向量中的最值和范围问题练习题
１、（２０１1全国新课标理)已知ａ,b均为单位向量，其夹角为 ，有下列四个命题
其中真命题是（)A． B. C. Ｄ.
２、（2０１２广东卷）对任意两个非零的平面向量 和 ,定义 ,若平面向量 、 满
足 ， 与 的夹角 ,且 和 都在集合 中,则 （）
A． B．１C. ﻩD．
专题、平面向量中的范围和最值问题
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专题十、平面向量中的最值和范围问题
平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题，也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数.解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系,通过函数的值域解决问题，同时,平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．
变式：已知平面向量α,β满足 ，且α与 的夹角为 ,则 的取值范围是；
小结1、模的范围或最值常见方法:①通过| |2= 2转化为实数问题;②数形结合；③坐标法．
考点２、向量夹角的范围
例2、已知 =(2,0), =(2,2）, ＝（ cｏｓα， siｎα)，则与夹角的取值范围是（)
A.Ｂ. Ｃ.D.
小结2、夹角范围问题的常见方法：①公式法；②数形结合法;③坐标法.
考点4、向量的系数问题:
例4、给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为１20°.如图所示,点Ｃ在以O为圆心的圆弧 上变动.若＝ｘ ＋ｙ其中x，y∈Ｒ，则x+y的最大值是_＿_＿__.
小结4、向量系数问题的一般处理方法:①点乘法；②几何法;③整体法.
变式：已知点G是 的重心，点Ｐ是 内一点,若 的取值范围是（)A. B. C． D. (１，2）
考点3、向量数量积的范围
例３、(1)已知圆Ｏ的半径为1,ＰＡ、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点,则 的最小值为()(A) (Ｂ) （C) (Ｄ)
(2)如右图，在梯形ABCD中，DA=AB＝ＢC= CD=1.点P在阴影区域(含边界)中运动,则 ·的取值范围是 ；
小结3、数量积问题涉及的方法较多，常用的方法有：①定义；②模与投影之积；③坐标法;④ ·=( ）2-（ )２．
３、(2０12宁波市期末)在 中，D为BC中点,若 ， ,则 的最小值是（ ）A. ﻩB． C． D.
4、（20１1福建卷）已知O是坐标原点，点Ａ(-1,１)若点M（x，y)为平面区域 ,上的一个动点，则 的取值范围是( )
A.[－1，０］ﻩB．[０，1]ﻩC.［0，2］D.［-1,2]
５、(２０12浙江会考）在棱长为1的正方体ABCD-Ａ1Ｂ1C1Ｄ1中，M是BC的中点，P,Q是正方
体内部及面上的两个动点,则 的最大值是()A. Ｂ.1C. D.
6、（20１1全国大纲理)设向量 满足 ， , ，则 的最大值等于()A.２B. C． Ｄ．1
７、如图,在直角梯形ABＣD中， ，动点P在以点C为圆心，且与直线ＢD相切的圆内运动，设 ,则 的取值范围是（)
Ａ. B. C． D.
8、(2012安徽卷）若平面向量 满足: ;则 的最小值是 ；
考点1、向量的模的范围
例1、(1)已知直角梯形 中, ／/ , , , 是腰 上的
动点,则 的最小值为_＿______＿___.
（２)(2011辽宁卷理)若 均为单位向量，且 , ，则 的最大值为()A.－１B．1C. D.2
(3)(2010浙江卷理）已知平面向量 满足 ,且 与 的夹角为120°,则 的取值范围是____＿________ .
边,在第一象限内作矩形 , ， 为坐标原点,则 的范围是.理)在平行四边形ＡBＣＤ中,∠Ａ= , 边ＡＢ、AD的长分别为2、1. 若Ｍ、Ｎ分别
是边BC、CD上的点，且满足 ,则 的取值范围是_______＿_；