1Q1dt 2Q2dt
1. 微小流束连续性方程
1Q1 2Q2 11dA1 22dA2
对不可压缩流体：
1 2 , Q1 Q2 1dA1 2dA2
1. 微小流束连续性方程 推而广之，在全部流动的各个断面上：
Q1 Q2 ~ Q
拉格朗日法(Lagrange method)—“跟踪”法
拉格朗日法是将流场中每一流体质点作为研究对象， 研究每一个流体质点在运动过程中的位置、速度、加 速度及密度、重度、压强等物理量随时间的变化规律。 然后将所有质点的这些资料综合起来，便得到了整 个流体的运动规律。即将整个流体的运动看作许多流 体质点运动的总和。
d 2 4A d 4R d x
非圆形截面管道的当量直径 x
D 4A 4R x
R
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
五、一维流动模型
一维流动： 流动参数是一个坐标的函数； 二维流动： 流动参数是两个坐标的函数； 三维流动： 流动参数是三个坐标的函数。
二维流动→一维流动
（1）（a,b,c）=const ，t 为变数，可以 得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。 （2）（a,b,c）为变数，t =const，可以得 出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。
流体质点速度为： x a，b，c，t
流体质点加速度为：
v x x a，b，c，t a x t t 2 v y 2 y a，b，c，t a y 2 t t vz 2 z a，b，c，t a z t 2 t
动方向的横断面, 如图中的 1-1，2-2 断面。又称为有效 截面，在流束中与各流线相垂直，在每一个微元流束的过 水断面上，各点的速度可认为是相同的。
2.湿周 水力半径 当量直径 湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。 水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。 A
圆形截面管道的几何直径
流线的性质
a.同一时刻的不同流线,不能相交. b.流线不能是折线，而是一条光 滑的曲线。 c.流线的形状和位置，在定常流 动时不随时间变化；而在不定 常流动时，随时间变化。
交点
u1 u2
s1
s2
u1
折点
u2
s
d.流线簇的疏密反映了速度的大小 （流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。
流线的方程
第一节 概述
流体的流动是由充满整个流动空间的无限 多个流体质点的运动构成的。充满运动流体的 的空间称为流场。 研 欧拉法 究 方 拉格朗日法
法
一、拉格朗日法
拉格朗日方法：是以流场中每一流体质点作为描述流 体运动的方法，它以流体个别质点随时间的运动为基 础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动求得整 个流动。 研究对象：流体质点
－1782)。1738年撰写和出版
了《流体动力学》一书，建
立了反映理想流体做定常流
动时能量关系的伯努利方程。
雅各布第一.伯努利：伯努利大数定律 约翰第一.伯努利：罗比塔法则、变分法（有限元原理基础），是欧拉的 老师 丹尼尔第一.伯努利：《流体力学》
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
第二节 流体运动的基本概念
2
v x t y a，b，c，t v y t z a，b，c，t vz t
流体质点的其它流动参量可以类 似地表示为a、b、c和 t 的函数。 如： p=p(a，b，c，t) ρ=ρ(a，b，c，t)
由于流体质点的运动轨迹非常 复杂，而实用上也无须知道个别质 点的运动情况，所以除了少数情况 （如波浪运动）外，在工程流体力 学中很少采用。
根据流线的定义，可以求得流 线的微分方程： 设ds为流线上A处一微元弧长:
ds dxi dyj dzk
u为流体质点在A点的流速:
u uxi u y j uz k
因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速 分量，u 和ds重合。所以 ds u 0
对于工程实际问题，在满足精度要求的情 况下，将三维流动简化为二维、甚至一维 流动，可以使得求解过程尽可能简化。
三维流动→二维流动
六、流量和平均流速
1、流量
单位时间内流过过流断面的流体量称为流量。流量又称 为体积流量（单位为 m s ，用Q表示）和质量流量（单位 为kg ，用Qm表示）
3
s
Q udA, Qm udA
有输入或输出的情况
例：断面为50X50cm2的送风管，通过abcd四个40X40cm2的 送风口向室内输送空气，送风口气流平均速度为5m/s,求 通过送风管1-1,2-2,3-3各断流面的流速和流量。
解：每一个送风口流量
Q 0.4 0.4 5 0.8 m
3
s
3
3 Q0 Q2 2Q Q2 2Q 1.6 m s 3 Q0 Q3 3Q Q3 Q 0.8 m s
即
i
j k
dx dy dz 0 ux u y uz
展开后得到： dx
dy dz ——流线方程 ux u y uz
或用它们余弦相等推得：
u y dy u x dx u z dz cos , cos , cos u ds u ds u ds
2.迹线
1dA1 2dA2 ~ dA
由此得出速度之比与断面积之比之间的关系：
1 dA2 1 1 1 1 : 2 :~~: : ~~: dA1 dA2 dA 2 dA1
2. 总流的连续性方程 将微小流束连续性方程两边对相应的过水断面A1及A2 进行积分可得：

A1
1u1dA1 2 u2dA2 1m u1dA1 2m u2dA2
二 流线与迹线
1. 流线
流线的定义——表示某
一瞬时流体各点流动趋势 的曲线； 曲线上每一点的速度矢量 总在该点与曲线相切。 右图为流线谱中显示的流 线形状。
流线的作法
在流场中任取一点（如图所示）, 绘出某时刻通 过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2 点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如 此下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限 就是某时刻的流线。
v
1 Q udA Q vA A A A
第三节 流体运动的连续性方程
连续性条件：流体连续地充满所占据的空间，当流体流动 时在其内部不形成空隙，这就是流体运动的连续性条件。 连续性方程：根据流体运动时应遵循质量守恒定律 (conservation of mass)，将连续性条件用数学形式表示出 来，即连续性方程。 在管路等流体力学计算中得到极为广泛的应用。

元流性质：

流体做定常流动时，元流的形状不随时间变化。 流体不能从元流的侧面流入和流出，流体只能沿元流 端面流入或流出。 元流横断面积无限小，其断面流速、压强等参数可以 认为是相等的。
4.总流：若干元流组合成的流束称为总流。
四.过水断面 湿周 水力半径
1.过水断面—即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流
A2
1mQ1 2mQ2
—总流的连续性方程，它说明可压缩流体做定常流动 时，总流的质量流量保持不变。
2. 总流的连续性方程 对不可压缩流体： 1 2 Q1 Q2 and u1 A1 u2 A2 —不可压缩流体定常流动总流的连续性方程，其物理 意义是：不可压缩流体做定常流动时，总流的体积流 量保持不变；各过水断面平均流速与过水断面面积成 反比，即过水断面面积↑处，流速↓；而过水断面面积↓ 处，流速↑。 对于理想流体和实际流体均可适用。
1. 微小流束连续性方程 如图所示，在总流上取一微小流束，过水断面分别为 dA1 和dA2 ，相应的平均流速分别为υ1和υ2 ，密度ρ1 和 ρ2 。由于微小流束的表面是由流线围成的，所以没有流 体穿入或穿出流束表面，只有两端面dA1 和dA2有流体 的流入和流出。在dt时间内对于dA1断面： 1dA11dt 1Q1dt 对于dA2断面： 2dA22dt 2Q2dt 根据质量守恒定律：
A A
六、流量和平均流速
2、断面平均流速
断面平均流速，以v表示，它是一种假想的流速，假定在 单位时间内，过流断面上各流体质点都以v流速流动，按 此流速计算的流量恰好等于过流断面上各流体质点以真实 流速u所通过的流量。 即 vA udA Q

A
断面平均流速为 Q-流体的体积流量 v-断面平均流速 A-总流过流断面的面积
非定常流动：在流场中，流体质点的一切运动要素(υ、 p、粘性力、惯性力)都是时间和坐标的函数的流动。 表示为：
u u( x, y, z, t ) u p 0, 0, 0 t t t p p( x, y, z, t )
例如水箱中的水位随着水的泄出而不 断下降的孔口出流就是非定常流动。
第三章 一维流体动力学基础
无论在自然界或工程实际中，流体的静止总是相 对的，运动才是绝对的。流体最基本的特征就是它 的流动性。因此，进一步研究流体运动规律便具有 更重要、更普遍的意义。
第一节 概述
一、流体动力学与流体静力学的区别 流体静力学只考虑作用在流体上的重力和压力， 流体静压强只与该点的空间位置有关； 流体动力学除考虑重力和压力外，还要考虑流体 受到的惯性力和粘性力，动力学中的压强不仅与 空间坐标有关，还与方向有关。
Q0 Q1 Q
Q1 3Q 2.4 m
s
Q1 2.4 9.6 m s A 0.5 0.5 Q 1.6 v2 2 6.4 m s A 0.5 0.5 Q3 0.8 v3 3.2 m s A 0.5 0.5 v1