工程学院2011年度（线性代数）期末考试试卷样卷
一、填空题（每小题2分，共20分）
1.如果行列式233
32
31
232221
131211
=a a a a a a a a a ，则=---------33
32
31
232221
13
1211222222222a a a a a a a a a 。

2.设2
3
2
6219321862
131-=
D ，则=+++42322212A A A A 。

3.设1
,,4321,0121-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A E ABC C B 则且有= 。

4.设齐次线性方程组⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则
=a 。

、B 均为5阶矩阵，2,2
1
==
B A ，则=--1A B T 。

6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A 。

7.设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 。

8.若31212322
212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型，则t 的范围是 。

9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ 。

10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A 。

二、单项选择（每小题2分，共10分）
1.若齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=λ++=+λ+=++λ0
00321
321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）
A .1或2
B . －1或－2
C .1或－2
D .－1或2.
2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为
1,1,2,3-，则=A （ ）
A .5
B .-5
C .-3
D .3
3.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ）
A .0=+
B A B .））B r A r ((=
C .O A =或O B =
D .0=A 或0=B
4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是
（ ）
A ．21+ββ
B ．
()21235
1
ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ-
5. 若二次型3231212
3222166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2，则=k （ ）
A . 1
B .2
C . 3
D . 4
三、计算题 (每题9分，共63分)
1.计算n 阶行列式a
b
b
b a b b b a
D n
=
2. 设B A ,均为3阶矩阵，且满足B A E AB +=+2，若矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=101020101A ，
求矩阵B 。

3.已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=769,103,321321ααα和⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01,12,110321b a βββ；
已知3β可以由321,,ααα线性表示, 且321,,ααα与321,,βββ具有相同的秩,求
a ,
b 的值。

4. 已知向量组⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0221,8451,6352,2130,421154321ααααα
（1）求向量组54321,,,,ααααα的秩以及它的一个极大线性无关组； （2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。

5. 已知线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+--=+++=+++a
x x x x x x x x x x x x 4321
432143219105363132
（1）a 为何值时方程组有解（2）当方程组有解时求出它的全部解（用解的结构表示）.
6. 设矩阵⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=2001,1141D P ，矩阵A 由关系式D AP P =-1确定，试求5A
7.将二次型3231212322213214222),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准形，并写
出相应的可逆线性变换。

四、证明题（7分）
已知3阶矩阵O B ≠，且矩阵B 的列向量都是下列齐次线性方程组的解
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=+-=-+0
3020
232
1321321x x x x x x x x x λ，
（1）求λ的值；（2）证明：0=B 。

参考答案与评分标准
一.
填空题
1．-16； 2. 0；3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21107； 4. 1； ； 6. ⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=121242121665
5A ； 7.λ1A ；8.3535
<<-
t ； 9. 2
π
； 10. 24。

二. 单项选择： 1. C ； 2. A ；3. D ； 4. B ； 5. C . 三.计算题：
1. a
b
b a b b b n a a b b
b a b b b a
D n
1
11]
)1([-+==
4分
1)]()1([0
001
]
)1([---+---+=n b a b n a b
a b a b b b n a
9分
2. B A E AB +=+2
⇒E A B AB -=-2
⇒))(()(E A E A B E A +-=-
3分
因为⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=-001010100E A 显然可逆
6分
则 ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=201030102101020101E E A B
9分
3. ,3/3/521000126093101713602931⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b b b b 3分
即5=b ，且2),,(321=αααr 5分 那么2),,(321=βββr ，则
6分
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0150130
121
501301*********a a b a ，即15=a 9分
4. ⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-→
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-----→
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---0000010000
02110
012
1
4422002110
16330
11
2
108624243122553111
2
1 4分 3),,,,(54321=αααααr
5分 其极大线性无关组可以取为521,,ααα
7分 且：521302αααα+-=，521402αααα++=
9分
5. ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5000011210040011612602242013211910513163
11321
1a a a 当5-=a 时，线性方程组有解
4分
即⎩⎨⎧+-=-=4
3241214x x x x x ，特解为⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=γ00100，
6分
其导出组的一般解为⎩⎨⎧+-=-=432
4
124x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=η⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=η1014,012021 8分 原线性方程组的通解为212
2110,(k k k k η+η+γ为任意常数）
9分 6. 由D AP P =-1，得1-=PDP A
2分 155-=P PD A
4分
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=114131320011141114131200111415 7分 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121144431141321128131 9分
7. f x x x x x x x x x x x x (,,)1231222321213232224=+++++ =x x x x x x x x x 12123232222322++++++()()
2分 =()()x x x x x x 123223232++++- 4分 令y x x x y x x y x 112322333=++=
+=⎧⎨⎪⎩⎪ 6分
即作线性变换x y y x y y x y 1122233
3=-=
-=⎧⎨⎪⎩⎪ 8分 可将二次型化成标准形f y y y =+-122232
9分
四.证明题：
因为O B ≠，所以齐次线性方程组有非零解，故其方程组的系数行列式 051131
2121
=λ=-λ--，所以0=λ 3分 （2）⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=000250121113012121A ，2)(=A r ，因此齐次线性方程组的基础解系所含解的个数为3-2=1，故1)(≤B r ，因而0=B 。

7分。