A (P) D O B
D
A
A P D
A
C
P
C
C
D
B
P C O B
P C (D) O
O
C P A
D
O
P
D
BC
O B
O
A (B)
A (B)
PA PB＝r －OP (P在圆内)
2 2
PA PB＝OP －r (P在圆外)
2 2
PA PB＝OP －r =0(P在圆上)
2 2
定值 OP r 称做点P对圆O的" 幂"
2 2
圆幂定理：过一个定点P的任何一条直线 与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两 条线段的乘积为定值 OP r .=d （等 于点P到圆心的距离与半径的平方差的绝 对值）
2 2
z.x.x.k
B
PA· PB＝PC· PD
• 切割线定理推论（割线定理） 从圆外一 点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆 的交点的两条线段长的积相等。
运动观点看本质
• • • • 相交弦定理 相交弦定理推论 切割线定理 割线定理
本质一样
圆幂定理
几个定理得统一
相交弦定理 割线定理 切割线定理 切线长定理 A •P B D PA•PB=PC•PD PA²=PC•PD PA=PC
B
学会用半径加减或加减半径
• 如图，已知PAB是⊙O的割线，PO＝14cm， PA＝4cm，AB＝16cm。求⊙O的半径。
B A P
O
C
• 如图，两个以O为圆心的同心圆，AB切大 圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D、E。 AB=12，AO=15，AD=8，求两圆的半径。
B
A D C E O
• 如图，⊙O和⊙O′都经 过点A、B，PQ切⊙O于 P，交⊙O ′于Q、M，交 AB的延长线于N。 求证：PN2＝NM· NQ
B
• 相交弦定理推论 如果弦与直径垂直相交， 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的 比例中项。 2
PC = PA· PB
• 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项。 T
PT2= PA· PB
P
A
O B
D•
C P A O
如图，PAB和PCD是⊙O 的两条割线。 求证：PA· PB＝PC· PD
C
PA•PB=PC•PD
统一叙述为：过一点P（无论点P在圆内，还是在圆外） 的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重合 的“交点”）于点A、B、C、D，PA•PB=PC•PD 。
zxxk
• 如图，在⊙O中，P是弦AB上一点， OP⊥PC，PC交⊙O于C。 求证：PC2＝PA· PB
C A D P O
。
O
1 2
A
P
几何语言:
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠1=∠2
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等
提供了新的方法。
圆幂定理
A
• 相交弦定理 圆内的两条相交 弦，被交点分成的两条线段长 的积相等。
O
C
D
P
B
PA· PB=PC· PD
A
P
C O
D
• 如图，CD是弦，AB是直 径，CD⊥AB，垂足为P。 求证：PC2＝PA· PB
A
O' M
O B N P
Q
• 如图，C为AB的中点， BCDE是以BC为一边的 D 正方形，以B为圆心， BD为半径的圆与AB及其 延长线相交于H、K。 A H C 2 求证：AH· AK=2AC 。
E
B
K
(1)经过⊙O内或外一点P作两条直线交⊙O于 A,B,C,D四点,得到了如图所示的六种不同情 况.在六种情况下,PA,PB,PC,PD四条线段在数 量上满足的关系式可用同一个式子表示.请先 写出这个式子，然后只就图②给予证明；
我们把圆的切线上某一点与切点之间 的线段的长叫做这点到圆的切线长。
zxxk
A
· O
PHale Waihona Puke B切线与切线长的区别与联系： （1）切线是一条与圆相切的直线； （2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们 的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角。 B