注2:定理简言之即是：和、差、积、商的极限 等于极限的和、差、积、商 注3:定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对 任何一个过程都成立
定理5(复合函数极限)设有复合函数 f g ( x ) 若
g( x ) b 1) lim x a
2) x U (a ), 有u g( x ) U (b)
f ( x) b

2
(1)
x : 0 x a 2
f ( x) c

2
(2)
xa
令
min 1 , 2
,当 0
时,(1)与(2)式
均成立,所以
| b c | | b f ( x) | | f ( x) c | .
f ( x ) b 与 lim g( x ) c ,且 推论1 若 lim x a x a
0, x : 0 x a
有 f ( x ) g( x ) (或 f ( x ) g( x ) ),则 b c(或 c b).
f ( x ) b ,且 b 0(或 b 0)则 推论2 若lim x a
定理1( 惟一性 )若函数 f ( x )在 a 存在极限,则它 的极限是唯一的. f ( x ) b 以及 lim f ( x ) c .由极限的 证 不妨设 lim x a x a 定义，对于任意的正数 0,存在正数 1 , 2 :
x : 0 x a 1
f ( u) A 3) lim u b
则
lim f ( g( x )) a
x a
证 由lim f ( u) A 知 0, 0 u b
使当0 | u b | 时, 有| f ( u) A |
又由lim g( x ) b得 对上述 0， 0
由 的任意性，推得 b = c. 一的. 这就证明了极限是惟
定理 2（局部有界性）若 lim f ( x ) b , 则存在 x a
U (a )
， f ( x ) 在 U (a ) 上有界.
证明:对
1 ,存在 0 ，当 0
| f ( x) b | 1 .
xa
§2.4
函数极限的定理
•一、函数极限的性质
在前面一节中我们引进的六种类型的函数极
限，它们都有类似于数列极限的一些性质，这里
仅以lim f ( x ) b 为代表叙述并证明这些性质，至
x a
于其它类型的性质与证明，只要相应作一些修改
即可.
1、 lim f ( x ) b 的基本性质
x a
f [ g( x )]转化为 则可作代换 u f ( x )把求 lim x a lim f ( u), 这里b lim g( x )
x x0 x x0 x x0 x x0 x x0
( 2) lim f ( x ) g( x ) lim f ( x ) lim g( x ) ;
f ( 3) 又若 lim g ( x ) 0 , 则 g 在点 x0 的极限也存在, x x0
x x0
x x0
x x0
并有
f ( x) x x0 lim . x x0 g ( x ) lim g ( x )
x x0
lim f ( x )
此定理的证明类似于数列极限中的相应定 理, 这里将证明留给读者. 在下一节学过归结原 则之后,就可以知道这些定理是显然的.
推论1 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则
时
这就证明了 f ( x ) 在某个空心邻域 U (a, ) 上有界. 由此得
| f ( x) | | b |心邻域 U (a, ) 上有界.
注： (1) 试与数列极限的有界性定理（定理 2）作一 比较； (2) 有界函数不一定存在极限； 1 1 ( 3) lim 1 , 但 在 ( 0 , 2 ) 上并不是有界的 . 这 x 1 x x 说明定理中 “局部” 这两个字是关键性 的.
0, x : 0 x a
有 f ( x ) 0(或 f ( x ) 0 ).
定理 4 （四则运算法则）若 lim f ( x ) , lim g( x ) 都存在, 则 f g , f g 在点 x0 的极限也存在, 且
(1) lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x ) ;
使得 0, x : 0 x a ,有
c b bc f ( x) b f ( x) 与 2 2 c b bc g ( x) c g ( x) 2 2
即
bc f ( x) g ( x), f ( x) g ( x). 2
x a
使当0 | x a | 时, 有 | g ( x ) b |
又g( x ) b


0 | g ( x ) b |
| f [ g ( x )] A |
由极限定义得
lim f [ g( x )] lim f ( u) A
x a u b
此定理表明： 若f (u)与g( x )满足定理的条件
g( x ) c f ( x ) b与 lim 定理3.(保序性) 若 lim x a x a
且 b c ,则 0, x : 0 x a ,有 f ( x ) g ( x .)
c b lim f ( x ) b lim g ( x ) c 0 证明：已知 xa 与 xa ,则 2
lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2
如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则 lim[ f ( x )] [lim f ( x )] .
n n
lim f ( x ), lim g ( x ) 注1:定理的条件：
存在 商的情形还须加上分母的极限不为0