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定义1 设 f 为定义在 ?a,?? ?上的一个 . A 为
定数, 若对于任意正数 ? ? 0，存在 M (? a)，使得
当x ? M 时,
f ( x ) ? A ? ?,
则称函数 f ( x ) 当 x 趋于 ? ? 时以 A 为极限 . 记为
lim f ( x ) ? A 或者 f ( x ) ? A ( x ? ?? ).
当 x ? ln ? 时
ex ? 0 ? ex ? ?.
这就是说
lim ex ? 0.
x ? ??
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例4
求证
lim
x? ?
1
1 ?x
2
?
0.
证 对于任意正数 ? , 可取 M ? 1 , 当 x ? M 时, 有
?
1 1? x2
?
0
?
1 x2
?
?,
所以结论成立 .
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从定义1、2 、3 不难得到 : 定理 3.1 f ( x ) 定义在 ? 的一个邻域内， 则
x ? M时
f ( x ) ? A ? ?,
则称 f ( x ) 当 x ? ? 时以 A 为极 记为 lim f ( x ) ? A 或 f (x) ? A ( x ? ? ).
x? ?
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例3 求证 lim ex ? 0. x? ? ?
证 对于任意正数 ? (0 ? ? ? 1), 取 M ? ? ln ?,
f ( x ) ? A ? ?,
则称 f ( x ) 当 x ? ?? 时以 A 为极限 , 记为 lim f ( x ) ? A 或 f (x) ? A (x ? ?? ).
x? ??
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定义3 设 f ( x )定义在 ? 的某个邻域 U (? ) 内, A
为一个常数 . 若对于任意 ? ? 0, 存在 M ? 0，当
x? ??
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lim f ( xA) ? 的几何意义
x? ??
y
A?? A
A??
①任意给定
??0
④ 有 A ? ?? f (xA) ? ? ?
Oa
M
②存在 M ? a
x
x
③ 使当 x ? M 时
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lim f ( xA) ? 的几何意义
x? ??
y
A?? A
A??
①任意给定
x? 1 x ? 1
22
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例6
证明
lim
x? x0
§1 函数极限概念
在本章 ,我们将讨论函数极限的基本
概念和重要性质.作为数列极限的推广, 函数极限与数列极限之间有着密切的 联系,它们之间的纽带就是归结原理.
一、x趋于? 时的函数极限 二、x趋于x0 时的函数极限 三、单侧极限
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一、x趋于? 时的函数极限
设函数 f ( x )定义在 ?a, ? ? ? y
2 2( x ? 1 ? 2)2
只要 x ? 1 ? ?,( ?) 式就能成立 , 故取? ? ? 即可.
证 任给正数 ?, 取 ? ? ?, 当 0 ? x ? x0 ? ? 时,
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x ? 1 ? 2 ? 1 ? x ? 1 ? ?,
x?1 2 2
这就证明了
lim x ? 1 ? 2 ? 1 .
??0
Oa
M
②存在 M ? a
④ 有 A ? ?? f (xA) ? ? ?
x
x
③ 使当 x ? M 时
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注 数列可视为定义在正整数集上的函数 . 请大家
比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点
与不同点 . 例1 证明 lim 1 ? 0.
x ? ?? x
证 任给? ? 0, 取 M ? 1 ,当 x ? M 时,
? 数? , 当 x ? U ?( x , ) ? U ?( x0 ) 时,
f ( x ) ? A ? ?,
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则称 f ( x ) 当 x ? x0 时以 A 为极限 . 记为
或者
lim f ( x ) ? A
x? x0
f ( x ) ? A ( x ? x0 ).
例5 证明 lim x ? 1 ? 2 ? 1 .
上,当 x 沿着 x 轴的正向 A
无限远离原点 时,函数f (x)
f (x)
也无限地接近 A,我们就称
f (x)当 x 趋于 ?? 时以A为
O
x
极限 .
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例如 函数 y ? arctan x , 当 x 趋于 ? ? 时, arctan x 以 π 为极限.
2
y
π 2
1 0.5
O
10 20 30 40 x
f ( x ) ? π ? π ? arctan x 22
?
π
?
π (
? ?) ?
?.
22
这就是说 lim ar ctan x ? π .
x? ??
2
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定义2 设 f ( x )定义在 ?? ? ,b?上 , A 是一个常数 .
若对于任意 ? ? 0 , 存在 M ? 0, 当 x ? ? M (? b) 时
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二、x趋于x0 时的函数极限
设函数 f (x) 在点 x0 的某空心邻域 U ?( x0 ) 内有定义 .
下面我们直接给出函数 f (x)当 x ? x0 时以常数 A 为极限的定义 . 定义4 设 f ( x ) 在点 x0 的某空心邻域 U ?( x ) 内有
定义，A 是一个常数 . 如果对于任意正数 ? , 存在正
lim f ( x ) ? A 的充要条件是：
x? ?
lim f ( x ) ? lim f ( x ) ? A.
x? ??
x? ??
π
π
例如 lim ar ctan x ? ? , lim ar ctan x ? ,
x? ??
2 x? ??
2
则由定理 3.1，lim arctan x 不存在. x? ?
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x? 1 x ? 1
22
分析 对于任意正数 ? ,要找到 ? ? 0, 当 0 ? | x ? 1 | ? ?
时, 使
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x?1?
2 ?
1
?
1
1
?
x?1
22
x ? 1 ? 22 2
x?1? 2
?
?
2 2( x ? 1 ? 2) 2 2(
x?1 x?1?
2 )2 ? ? . (?)
因 x?1 ? x ? 1,
?
f (x)? 0 ? 1 ? ?,
x 所以(由定义 1),
lim 1 ? 0. x ? ?? x
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例2 证明 lim arctan x ? ? .
x ? ??
2
证 任给 ? ? 0 (? ? ? ), 取 M ? tan( ? ? ?).
2
2
因为 arctan x 严格增 当 x ? M 时，