第84讲、勾股定理与弦图
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一、基础知识；
我国是最早了解勾股定理的国家之一，在直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。

二、图形的构造定理；
1、勾股定理: 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方和。

a c 2
2
2c
b
a=
+
b
2、勾理的证明：大家注意到，每个长方形可用一条对角线分为两个同样大小的直角三角形，如下图。

设这个直角三角形的两条直角边为a，b，斜边为c，则4个直角三角形可以拼成一个斜边为c的正方形。

中间空一格边长为a-b的小正方形。

显然这个图形是大正方形ABCD的一部分。

由图中可见。

证明：ab
b
a
c
2
4
)
(⨯
+
-
=
ab
b
a2
)
(2+
-
=
ab
b
ab
a2
22
2+
+
-
=
=a2-2ab+b2+2ab
=a2+b2
完全平方和公式：
完全平方差公式：
1. 四个完全一样的长方形木板，拼成如图的正方形，大正方形周长32厘米，小正方
形周长24厘米。

求：每块长方形木板的面积和周长。

2. 如图，在△ABD 中，∠A 是直角，AB ＝3，AD ＝4，BC ＝12，DC ＝13，求四边形
ABCD 的面积
3、以直角三角形ABC 各边为直径的三个半圆围成两个新月形（阴影部分），已知AC 长3厘米，长4米．则新月形（阴影部分）的面积和是多少平方厘米。

4、同样大小的长方形小纸片摆成了下图所示的图形，已知小纸片的宽是12厘米，求阴影部分的总面积。

1、所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为 cm2．
2、如下图所示，小圆直径与大圆直径在同一条直线上，弦AB=10厘米，弦AB 与直径平行且与小圆相切，求阴影面积。

3、如图，大小两个半圆，它们的直径在同一直线上，弦AB 与小半圆相切，且与直径平行，弦AB 长12厘米，求阴影部分的面积。

4、 科技小组演示自制的机器人，若机器人从A 点向南行走1.2米，再向东行走1米，接着又向南行走1.8米，再想东行走2米，最后又向南行走1米到达B 点，则B 点到A 点的直线距离是多少米？
1、如图，正方形ABCD ，以各边为直径作4个半圆，且A 、B 、C 、D 为正方形EFGH 各边的中点。

再以正方形EFGH 各边的一半作为直径作8个小半圆。

这样形成的8个月牙形的总面积为8平方厘米，问：正方形ABCD 的面积是多少平方厘米？正方形EFGH 的面积又是多少平方厘米？
1. 右图中的正方形的边长为 10, 则阴影部分的面积为。

（十九届华赛初赛试题）
1、两个大小不同的正方体积木粘在一起, 构成右图所示的立体图形,其中, 小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点． 如果大积木的棱长为 3, 则这个立体图形的表面积为________. (十八届华赛决赛试题）。