②
联立①②式得 sin cos mg F
现考察使上式成立的 角的取值范围。注意到上式右边总大于零，且当 F 无 限大时极限为零，有 sin cos 0 ，即 tan
当 0 时，不管拖杆方向用多大的力都推不动拖把，这里 0 是题中所定义
。
的临界角，即临界角的正切为 tan0
于平衡状态，由水平方向合力为零得 F cos FR cos
则 F 的功率 p Fv cos FRv cos
在 从 0 逐渐增大到90 的过程中， FR 逐渐减小，则功率 p 逐渐减小。
φ F
θ
mg
FR
F 图7
例题 3（2013 年山东高考卷）如图 8 所示，一质量 m 0.4kg 的小物块，以
[1]章靖昊.应用摩擦角分析平衡问题的探讨——从2017年高考全国卷Ⅱ第16题说起[J].湖南中学理,2017,32(11):7173. [2]殷勇.巧用摩擦角解决力学问题[J].物理教学,2012,34(12):37-39.
[3]薄宏超.挖掘高考热点 解密自锁现象[J].湖南中学物理,2013,28(03):65-66+18.
FR
N
F
f
θ
mg
其中 tan 1 ，

可见 F 有最小值，所以 F 先减小后增大， A 正确； B 错误；
F 的功率： p Fv cos mgv cos mgv
cos sin 1 tan
可见在 从 0 逐渐增大到90 的过程中， tan 逐渐增大，则功率
拖把的正压力的比值为 。已知存在一临界角0 ，若 0 ，则不管沿拖杆方向 的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tan0 。
（2）基本解法：若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运
动，应有
水平方向
F sin N
①
竖直方向
F cos mg N
v0 2m / s 的初速度，在于斜面成某一夹角的拉力 F 作用下，沿斜面向上做匀加 速运动，经 t 2s 的时间物块由 A 点运动到 B 点， A 、 B 之间的距离 L 10m 。
已知斜面倾角 30，物块与斜面之间的动摩擦因数 3 。重力加速度 g 取
3
10m / s （1）求物块加速度的大小及到达 B 点时速度的大小。 （2）拉力 F 与斜面的夹角多大时，拉力 F 最小？拉力 F 最小值是多少？
代入数据整理得： F
5.2

5.2
cos 3 sin 2 3 sin(60 )
3
3
由数学知识得当

30
时，拉力
F
最小，且
Fm in

13 5
3
N
。
N
F
ɑ
f mg
30
图9
摩擦角解法：物体沿着斜面向上以加速度a 做匀加速直线运动， FR
F
等效为物体在受图 9 的 4 个作用力的同时，再受到一个大小为ma 方
自锁现象与摩擦角
CONTENTS
01 自锁现象 02 摩擦角 03 自锁现象与摩擦角 04 应用摩擦角解决物理问题 05 参考文献
自锁现象 与摩擦角
01 自锁现象
01 自锁现象
在通常情况下，当驱动力超过某一临界值时，物体间将发生相对滑动，静 摩擦力随之变为滑动摩擦力。然而在满足自锁条件时，即使驱动力无限增大， 物体间不仅不会发生相对滑动反而保持相对静止的能力越强，这种现象称之为 自锁现象。
例题 1（2012 年新课标全国卷）拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如 图 3）。设拖把头的质量为 m ，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦
因数为常数 ，重力加速度为 g ，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆
方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为 。 （1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。 （2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对
F' mg
f ' N' (mg F'cos ') F'sin ' f '
摩擦角 自锁
i ——自锁现象的条件
02 摩擦角
02 摩擦角
N fθ
Fsinθ
Fcosθ
F mg
f N (mg F cos )
减小F与竖直方 向的夹角
N
φ
f
Fsinφ
φ
mg
F
N'
θ'
[4]余建刚.利用摩擦角解有关竞赛题[J].物理教师,2007(01):67-68.
[5]尹冠生.理论力学[M].西北工业大学出版社
感谢聆听！
THANK YOU!
《自锁现象与摩擦角》

FR N φ0 f mg
θ
F
图4
例题 2（2009 年高考宁夏卷）水平地面有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦
因数为 （ 0 1）。现对木箱施加一拉力 F ，使木箱做匀速直线运动。设 F 的
方向与水平面夹角为 ，如图 5，在 从 0 逐渐增大到90 的过程中，木箱的速度
保持不变，则（ ）
f'
F'sinθ
F'cosθ
mg
F'
f ' N' (mg F'cos ')
F sin f
F sin f
F'sin ' f '
F sin (mg F cos)
滑动
F mg
自锁
F sin F cos
tan
02 摩擦角
定义：当物体与接触面间存在弹力和摩擦力时，把接触面对物体的弹力N和摩擦 力f的合力称做支撑面的全反力FR。当摩擦力为滑动摩擦力时，全反力与支持力 间的夹角最大,称为摩擦角。
【2017年高考全国卷II第16题】
如图1，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F
的大小不变，而方向与水平面成60°，物块也恰好做匀速直线运动。物块
与桌面间的动摩擦因数为（ ）
FR φm
fm
摩擦角


tanm

f N
两次摩擦角不变：
F mg

F cos 60 mg F sin 60
φ
ɑ
FR φ
Fmin
ɑ
向沿斜面向下的力（即惯性力）的作用而合力为零，又用全约束反力 FR 等效替代物块所受到的支持力和摩擦力，则物体受力如图 10。
ma 与 mg 的合力恒定，用 Fs 表示，则物体受力等效为图 11，其中 Fs 恒定，FR 方向不变，由图解知当拉力 F 与 FR 垂直时拉力 F 最小，则
F
F
f滑
f静
v
01 自锁现象
原
理
f
N
θ
Fsinθ
减小F与竖直 方向的夹角
Fcosθ
F mg
f N (mg F cos )
水平分力减小
对地面压力增大
最大静摩擦力 增大
F sin f
滑动
产生自锁现象的本质原因 最大静摩擦力的大小跟正压力成正比
N'
θ'
f'
F'sinθ
F'cosθ
解得， 3
3
02 摩擦角---拉密定理
02 摩擦角 【2017年高考全国卷II第16题】
如图1，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F 的大小不变，而方向与水平面成60°，物块也恰好做匀速直线运动。物块 与桌面间的动摩擦因数为（ ）
FR φm F mg
由拉密定理：
mg
sin(m
30 )

F sin(180
m )
由 F mg 和 tanm
得 3
3
03 自锁现象 与摩擦角
03 自锁现象与摩擦角
当主动力合力FR的作用线落在摩擦角 （锥）之内或与其边界重合时，则无论 此合力有多大，总有全反力与之平衡， 物体必能处于静止，这种现象称为自锁。
f
30
mg
图10

Fmin
FS
图11
，因 tan ，所以 30 。
建立直角坐标系如图 12，由 y 方向合力为零得 Fmin ma cos mg cos ，
计算得
Fm in

13 5
3
N
。
y
FR
Fmin
ɑ
ma

mg
x
图12
05 参考文献
05 参考文献
摩擦角解法：如图 4 所示，全约束力 FR 与竖直方向的夹 角在0 ~ 0 之间，只要推力F 与竖直方向的夹角 0 ，无论推
力 F 多大，都可以找到一个大小和方向合适的全约束力FR ，
使得mg 、F 、FR 构成一个封闭的矢量三角形，即它们的合力
为零。所以临界角 tan 0

fmax FN
F
v0
B
A
θ
图8
（2）基本解法：受力分析如图 9，
沿斜面方向： F cos mg sin f ma ① 垂直于斜面方向： N F sin mg cos 0 ② 又 f N ③
联立①②③解得 F mg sin mg cos ma
cos sin
FRmax
N
φm
fsm
F
φm：摩擦角
摩擦角和摩擦因数表示材料摩 擦性质的物理量；
tan m