J-O 理论计算过程总结
单位采用g 、cm 、s By.周大华
电子电荷 e=4.8*10-10 esu （electrostatic unit ）
电子电荷 m=9.11*10-28 g 光速 c=3*1010 cm/s
1.计算稀土掺杂离子数浓度
0A
N N M ρ⋅=⨯⨯摩尔浓度格位数，1s 0=C (1)m k m C k g -=-摩尔浓度，
ρ---晶体密度，A N ---阿伏伽德罗常数236.0210⨯，M ---基质分子量 格位数---被掺杂离子在单个分子中被取代离子数目，
0C ---配料摩尔浓度，
g ---晶体结晶率=已结晶质量原始配料质量 ，因为原料未完全结晶 m k ---分凝系数 简单近似时可由晶体头部的掺杂离子含量ICP 分析数据计算出，也就是把晶体头部生长时溶液中溶质含量近似为初始配料浓度，例如(Nd 0.01Y 0.99)3A15O 12晶体头部ICP 分析结果是Nd 、Y 的质量百分含量分别A 和B ，则1%
Nd
Nd Y m A M A M B M k += 注：(1)如果不乘以格位数算出来的只是分子或者单胞浓度，而非掺杂离子的个数浓度；
(2)离子浓度单位为 个/cm 3
2. 比尔－朗伯定律 Beer –Lambert law
当强度0I 单色光入射厚度为L 的介质（气体，液体，固体，离子，原子等），介质吸光点浓度0N ，在无限小的薄层dl ，横截面积S ，强度减弱dI ,则dI 与该薄层光强I 和吸光点数目相关：
00dI k I N Sdl -=⋅⋅⋅ （1）
000L I L I dI k N Sdl I -=⋅⋅⎰⎰ （2） 000ln L
I k N SL I =⋅⋅ （3） 关系式（3）称为光吸收定律或者比尔-朗伯定律。

定义吸光度Absorbance (也称光密度Optical Density)
0000lg ()0.43L A I I k N L K N L ===⋅⋅ （4）
定义透光度(透射比) Transmittance
0010k N L L T I I -⋅⋅== （5）
注：(1)当介质厚度L 以cm 为单位，吸光物质浓度0N 以g L 为单位时，K 用α表示，称为吸收系数，其单位为L g cm ⋅ 。

这时比尔-朗伯定律表示为0A N L α=⋅⋅
(2)当介质厚度L 以cm 为单位，吸光物质浓度0N 以mol L 为单位时，K 用k 表示，称为摩尔吸收系数，其单位为L mol cm ⋅,定律表示为0A k N L =⋅⋅
(3)在激光领域，常常取自然对数时的吸收系数: 0 2.303*()ln
L OD I L I L λα== 3.吸收光谱能级标定、平均波长（各种离子能级标定参见附录）
()()OD d OD d λλλλλλ
=⎰⎰ （6） ()OD λ为光密度，吸收光谱直接测出
4.实验振子强度
2
2exp 2222001()()0.43e e m c m c f d OD d L e N e N αλλλλπλπλ==
⨯⎰⎰ 202820209.11109101()3.14 4.8 4.8100.43OD d N L λλλ
--⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⎰ 12
202.6410()OD d N L λλλ⨯=⎰, （7）
注：()OD d λλ⎰为各吸收能级的积分面积（积分强度），再乘以10-7代入公式（7）。

5.稀土离子4N f 电子组态的SLJ 能级到S L J '''跃迁的谱线强度（各离子跃迁矩阵元参见附录）
理论 2()2,4,6()4[,]4[,]n t n cal t t S J J f S L J U f S L J =''''→=
Ω∑
实验 exp 322203(21)91()()8(2)0.43hc J n S J J OD d e n N l
λλπλ+'→=⎰+⋅ 271032202203 6.63103109(21)()0.438 3.14 4.810(2)n J OD d n N L
λλλ--⨯⨯⨯⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⎰ 3220(21)0.2210()(2)n J OD d n N L
λλλ⨯+=⨯⨯+⋅⋅⋅⎰ 以上式子，J --角动量量子数，n --折射率，c --真空光速，e --电子电量。

注：(1)如果用吸收系数求实验谱线强度的话则采用下面的公式
exp 32223(21)9()()8(2)hc J n S J J d e n αλλπλ
+'→=⎰+⋅ 由于计算过吸收系数，这时()αλ的量级一般为10-20。

(2)实验测得谱线跃迁强度为电偶极跃迁和磁偶极跃迁之和，而在理论计算中只涉及电偶极跃迁，所以如果存在磁偶极跃迁的话要减掉这一部分强度
exp ed md S S S =+
222
1(,)2(,)4md S S L J L S S L J m c '''=+ 2323.3510(,)2(,)S L J L S S L J '''=⨯⨯+
由公式可知，存在磁偶极跃迁的话，磁偶极跃迁强度与稀土离子基质性质
无关，所以常见的磁偶极跃迁强度可由文献查询。

如Er 3+磁偶极能级跃迁见附录。

(3)在计算实验谱线强度时不需要特别考虑波长单位，因为分子分母同时含有波长的单位可以约掉。

6.误差计算
理论强度与试验测定强度方均差RMS deviation between measured and
calculated line strengths
RMS S ∆= 计算过程的相对误差
Relative error
RMS error = 总结：第一步：依次标定吸收谱能级，求出平均波长；
第二步：求出实验谱线强度，实验谱线强度包括电偶极跃迁和磁偶极跃迁之和, 注意公式的选择与用光密度还是吸收系数来积分有关；
第三步：如果含有磁偶极跃迁，需减去磁偶极跃迁强度方为实验电偶极跃迁强度；
第四步：利用exp 224466S U U U =Ω⋅+Ω⋅+Ω⋅，解线性方程组，求出2,4,6Ω； 第五步：利用224466cal S U U U =Ω⋅+Ω⋅+Ω⋅，算出理论跃迁谱线强度ed S ；
第六步：误差计算。

7.计算自发辐射跃迁几率、荧光分支比、辐射寿命
第一步：标定自发辐射能级，各离子能级参见附录
第二步：根据吸收谱计算出各能级间自发辐射波长，例如
第三步：自发辐射谱线强度，自发辐射几率
224466ed S U U U =Ω⋅+Ω⋅+Ω⋅，这里2,4,6Ω由前面计算出，而跃迁矩阵元根据能级确定；
md S 与基质无关，根据磁偶极跃迁的选择定则，强度可以直接文献查得，见附录。

4222
364(2)()3(21)9
ed ed e n n A J J S h J πλ+'→=+ 423
364()3(21)md md e n A J J S h J πλ
'→=+ 42223364(2)[(,);(,)][]3(21)9
ed md ed md e n n A S L J S L J A A S n S h J πλ+'''=+=++ 22
10
331(2)=7.2110[](21)9ed md n n S n S J λ+⨯⨯++ 注：在A 的计算中，由于一般论文中ed S 和md S 采用-20210cm ⨯单位，这里要注意分母有波长（710cm -）的三次方，所以波长用nm ，ed S 和md S 用-20210cm ⨯的话结果要再乘以10。

第四步：荧光分支比
()()()
J A J J J J A J J β''→'→=
'→∑ 上能级寿命 1(,)rad J A J J τ'
='∑ 8.吸收截面、发射截面
吸收截面 02.303()()a OD N L
σλλ=⋅ 通过荧光分支比计算发射截面计算
52()()8()e I cn I d β
λλσλπτλλλ='''⎰，β为荧光分支比，注意单位。

参考文献B. Aull and H. Jenssen, IEEE J. Quantum Electron. 18, 925 (1982).
通过吸收系数计算受激发射截面 0()()(/)exp[()/]se abs eff eff g e Z Z E h kT συσυυ=-
参考文献S. A. Payne, L. L. Chase, L. K. Smith, W. L. Kway, W. F. Krupke, IEEE J. Quantum Electron. 28 (1992) 2619
受激发射截面 52()()8()e rad I cn I d λλσλπτλλλ=⎰（待确认）。