5 I ( ) 受激发射截面 e ( ) （待确认） 8 cn2 rad I ( )d
dI k0 I N0 Sdl

IL L dI k0 N0 Sdl 0 I
（1）
I0
（2）
ln
I0 k0 N 0 SL IL
（3）
关系式（3）称为光吸收定律或者比尔-朗伯定律。 定义吸光度 Absorbance (也称光密度 Optical Density)
2
3.35 1032 ( S , L) J L 2S ( S , L) J
2
由公式可知，存在磁偶极跃迁的话，磁偶极跃迁强度与稀土离子基质性质
无关， 所以常见的磁偶极跃迁强度可由文献查询。 如 Er3+磁偶极能级跃迁见附录。 (3)在计算实验谱线强度时不需要特别考虑波长单位，因为分子分母同时含 有波长的单位可以约掉。
me c 2
e2 N 0
2
( )d e
2
20
me c 2
2
N0 1Βιβλιοθήκη 1 OD( )d 0.43L
9.111028 9 1020
3.14 4.8 4.8 10 0.43 N0 L 2.64 1012

2
OD( )d
（7）
RMS error

J
(Sexp Scal )2 ( N 3)

J
Sexp 2 N
总结：第一步：依次标定吸收谱能级，求出平均波长；
第二步：求出实验谱线强度，实验谱线强度包括电偶极跃迁和磁偶极跃 迁之和, 注意公式的选择与用光密度还是吸收系数来积分有关； 第三步：如果含有磁偶极跃迁，需减去磁偶极跃迁强度方为实验电偶极 跃迁强度； 第四步：利用 Sexp 2 U 2 4 U 4 6 U 6 ，解线性方程组，求出 2,4,6 ； 第五步： 利用 Scal 2 U 2 4 U 4 6 U 6 ， 算出理论跃迁谱线强度 Sed ； 第六步：误差计算。
A lg ( I 0 I L ) 0.43k0 N0 L K N0 L
（4）
定义透光度(透射比) Transmittance
T I L I 0 10 k N0 L
（ 5）
注： (1)当介质厚度 L 以 cm 为单位， 吸光物质浓度 N 0 以 g
L 为单位时，K 用 表
---晶体密度， N A ---阿伏伽德罗常数 6.02 1023 ， M ---基质分子量
格位数---被掺杂离子在单个分子中被取代离子数目，
C0 ---配料摩尔浓度，
g ---晶体结晶率 已结晶质量
原始配料质量
，因为原料未完全结晶
k m ---分凝系数 简单近似时可由晶体头部的掺杂离子含量 ICP 分析数据计算出，
0.22 103
n (2 J 1) OD( )d (n 2) 2 N0 L
2
以上式子， J --角动量量子数， n --折射率， c --真空光速， e --电子电量。
注：(1)如果用吸收系数求实验谱线强度的话则采用下面的公式
Sexp ( J J ) 3hc(2 J 1) 9n ( ) d 3 2 2 8 e (n 2)2
元根据能级确定；
Smd 与基质无关，根据磁偶极跃迁的选择定则，强度可以直接文献查
得，见附录。
Aed ( J J )
Amd ( J J )
64 4e2 n(n2 2)2 Sed 3h(2 J 1) 3 9
64 4e2 n3 Smd 3h(2 J 1) 3
A[( S , L) J ;( S , L) J ] Aed Amd
数浓度； (2)离子浓度单位为 个/cm3
2. 比尔－朗伯定律 Beer–Lambert law
I I0 S dl 当强度 I 0 单色光入射厚度为 L 的介质（气体，液体，固体，离子，原子等） ，介质吸光 点浓度 N 0 ，在无限小的薄层 dl ，横截面积 S ，强度减弱 dI ,则 dI 与该薄层光强 I 和吸光 点数目相关： IL
t 2,4,6

t 4 f n [ S , L]J U (t ) 4 f n [ S , L]J
2
3hc(2 J 1) 9n 1 OD( )d 3 2 2 2 8 e (n 2) 0.43N0l

0 3 6.63 102 7 3 10 1 9 n (2 J 1) 2 OD( )d 3 2 20 0.43 8 3.14 4.8 10 (n 2)2 N0 L
示，称为吸收系数，其单位为 L g cm 。这时比尔-朗伯定律表示为 A N0 L (2)当介质厚度 L 以 cm 为单位， 吸光物质浓度 N 0 以 mol L 为单位时，K 用 k 表 示，称为摩尔吸收系数，其单位为 L mol cm ,定律表示为 A k N0 L
8.吸收截面、发射截面
吸收截面
a ( )
2.303 OD ( ) N0 L
通过荧光分支比计算发射截面计算
5 I ( ) e ( ) ，β为荧光分支比，注意单位。 8 cn 2 I ( )d
参考文献 B. Aull and H. Jenssen, IEEE J. Quantum Electron. 18, 925 (1982).
J-O 理论计算过程总结
单位采用 g、cm、s By.周大华
电子电荷 e=4.8*10-10 esu （electrostatic unit） 电子电荷 m=9.11*10-28 g 1.计算稀土掺杂离子数浓度
N0
光速 c=3*1010 cm/s
NA
M
摩尔浓度 格位数 ， 摩尔浓度=Cs C0 km (1 g )km 1 ，
(3)在激光领域，常常取自然对数时的吸收系数: ln
2.303* OD( ) I0 L IL L
3.吸收光谱能级标定、平均波长（各种离子能级标定参见附录）

OD( )d OD( )d
（6）
OD( ) 为光密度，吸收光谱直接测出
4.实验振子强度
f exp
64 4e2 n(n2 2)2 [ Sed n3Smd ] 3 3h(2 J 1) 9
=7.211010
1 n(n2 2) 2 [ Sed n3 Smd ] 3 (2 J 1) 9
注：在 A 的计算中，由于一般论文中 Sed 和 Smd 采用 10-20cm2 单位，这里要注意
se abs ( ) eff ( )( Z g / Ze ) exp[( E0 h ) / kT ] 通过吸收系数计算受激发射截面 eff

参考文献 S. A. Payne, L. L. Chase, L. K. Smith, W. L. Kway, W. F. Krupke, IEEE J. Quantum Electron. 28 (1992) 2619
分母有波长（ 107 cm ）的三次方，所以波长用 nm， Sed 和 Smd 用 10-20cm2 的话结 果要再乘以 10 。 第四步：荧光分支比
( J J )
上能级寿命
A( J J ) J A( J J )
rad
1 J A( J , J )
7.计算自发辐射跃迁几率、荧光分支比、辐射寿命
第一步：标定自发辐射能级，各离子能级参见附录 第二步：根据吸收谱计算出各能级间自发辐射波长，例如
λ3
根据吸收波长和能量守恒定理，可以求出
λ1
λ2
3
1 2 2 1
第三步：自发辐射谱线强度，自发辐射几率
Sed 2 U 2 4 U 2,4,6 由前面计算出，而跃迁矩阵 4 U 6 ，这里 6
也就是把晶体头部生长时溶液中溶质含量近似为初始配料浓度，例如 (Nd0.01Y0.99)3A15O12 晶体头部 ICP 分析结果是 Nd、 Y 的质量百分含量分别 A 和 B，
A M Nd A M Nd B M Y 则 km 1%
注：(1)如果不乘以格位数算出来的只是分子或者单胞浓度，而非掺杂离子的个

N0 L
2
OD( )d ,
注： OD( )d 为各吸收能级的积分面积 （积分强度） ， 再乘以 10-7 代入公式 （7） 。 5.稀土离子 4 f N 电子组态的 SLJ 能级到 S LJ 跃迁的谱线强度 （各离 子跃迁矩阵元参见附录）
理论 Scal ( J J ) 实验 Sexp ( J J )
6.误差计算
理 论 强 度 与 试 验 测 定 强 度 方 均 差 RMS deviation between measured and calculated line strengths
RMS S

J
(Sexp Scal )2 ( N 3)
计算过程的相对误差 Relative error
由于计算过吸收系数，这时 ( ) 的量级一般为 10-20。
(2)实验测得谱线跃迁强度为电偶极跃迁和磁偶极跃迁之和，而在理论计算 中只涉及电偶极跃迁，所以如果存在磁偶极跃迁的话要减掉这一部分强度
Sexp Sed Smd
Smd 1 ( S , L) J L 2S ( S , L) J 4m 2 c 2