中考数学一轮复习代数篇
二次函数
Modified by JEEP on December 26th, 2020.
中考复习之二次函数（一）
知识考点：
掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。
精典例题：
【例1】二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，那么abc 、
ac b 42
-、b a +2、c b a +-24
的有（ ）
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个
解析：∵a b
x 2=＜1
∴b a +2＞0 答案：A
评注：由抛物线开口方向判定a 的符号，由对称轴的位置判定b 的符号，由抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号。
由抛物线与x 轴的交点个数判定ac b 42-的符号，若x 轴标出了1和－1，则结合函数值可判定
b a +2、
c b a ++、c b a +-的符号。
【例2】已知0=++c b a ，a ≠0，把抛物线c bx ax y ++=2向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。
分析：①由0=++c b a 可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。
例1图
解：可设新抛物线的解析式为2)2(+=x a y ，则原抛物线的解析式为1)52(2+-+=x a y ，又易知原抛物线过点（1，0）
∴1)521(02+-+=a ，解得41
-=a
∴原抛物线的解析式为：1)3(4
1
2+--=x y
评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。
另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：①开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是a 反号；②两抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于x 轴对称，a 反号；③两抛物线关于y 轴对称，此时顶点关于y 轴对称； 探索与创新：
【问题】已知，抛物线22)1(t t x a y +--=（a 、t 是常数且不等于零）的顶点是A ，如图所示，抛物线122+-=x x y 的顶点是B 。
（1）判断点A 是否在抛物线122+-=x x y 上，为什么
（2）如果抛物线22)1(t t x a y +--=经过点B ，①求a 的值；②这条抛物线与x 轴的两个交点和它的顶点A 能否构成直角三角形若能，求出它的值；若不能，请说明理由。
解析：（1）抛物线22)1(t t x a y +--=的顶点A （1+t ，2t ），而1+=t x 当时，
222)11()1(12-+=-=+-=x x x x y ＝2t ，所以点A 在
抛物线122+-=x x y 上。
问题图
（2）①顶点B （1，0），0)11(22=+--t t a ，∵0≠t ，∴
1-=a ；②设抛物线22)1(t t x a y +--=与x 轴的另一交点为C ，∴B （1，0），C （12+t ，0），由抛物线的对称性可知，△ABC 为等腰直角三角形，过A 作AD ⊥x 轴于D ，则AD ＝BD 。
当点C 在点B 的左边时，)1(12+-=t t ，解得1-=t 或0=t （舍）；当点C 在点B 的右边时，1)1(2-+=t t ，解得1=t 或0=t （舍）。
故1±=t 。
评注：若抛物线的顶点与x 轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。
跟踪训练： 一、选择题：
1、二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，OA ＝OC ，则下列结论： ①abc ＜0； ②24b ac <；
③1-=-b ac ； ④02<+b a ；
⑤a
c
OB OA -=⋅；
⑥024<+-c b a 。
其中正确的有（ ）
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
2、二次函数c bx x y ++=2的图像向右平移3个单位，再向下平移2个
第1题图
第3题图
F
E
D C
B A
单位，得到函数图像的解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ）
A 、6、4
B 、－8、14
C 、4、6
D 、－8、－14
3、如图，已知△ABC 中，BC ＝8，BC 边上的高4=h ，D 为BC 上一点，EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，△DEF 的面积为y ，那么y 关于x 的函数图像大致是（ ）
3题图
A B C D
4、若抛物线2ax y =与四条直线1=x ，2=x ，1=y ，2=y 围成的正方
形有公共点，则a 的取值范围是（ ）
A 、41≤a ≤1
B 、21≤a ≤2
C 、21≤a ≤1
D 、41
≤a ≤2
5、如图，一次函数b kx y +=与二次函数c bx ax y ++=2的大致图像是（ ）
3题图
3题图
3题图
3题图
二、填空题：
1、若抛物线232)1(2-++-=m mx x m y 的最低点在x 轴上，则m 的值为 。
2、二次函数542+-=mx x y ，当2-<x 时，y 随x 的增大而减小；当
2->x 时，y 随x 的增大而增大。
则当1-=x 时，y 的值是 。
3、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。
4、已知抛物线n mx x m y +--=4)2(22的对称轴是2=x ，且它的最高点在直线12
1
+=x y 上，则它的顶点为 ，n ＝ 。
三、解答题：
1、已知函数m x m x y +--=)2(2的图像过点（－1，15），设其图像与x 轴交于点A 、B ，点C 在图像上，且1=∆ABC S ，求点C 的坐标。
2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。
下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）。
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元
O O
3、抛物线2
x y =，2
2
1x y -=和直线a x =（a ＞0）分别交于A 、B
两点，已知∠AOB ＝900。
（1）求过原点O ，把△AOB 面积两等分的直线解析式；
（2）为使直线b x y +=2与线段AB 相交，那么b 值应是怎样的范围才适合
4、如图，抛物线t ax ax y ++=42与x 轴的一个交点为A （－1，0）。
（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；
（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧。
问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题：BCDDC 二、填空题：
1、2；
2、－7；
3、1)2(2
1
2+-=x y ；4、（2，2），2-=n ； 三、解答题：
1、C （23+，1）或（23-，1）、（3，－1）
2、（1）t t S 22
12
-=；（2）10月；（3）万元 3、（1）x y 4
2
=
；（2）－3≤b ≤0 4、（1）B （－3，0）；（2）342++=x x y 或342---=x x y ； （3）在抛物线的对称轴上存在点P （－2，2
1
），使△APE 的周长最小。