二次函数代数综合题
1．已知直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2都经过点A (1，0)，B (3，2)．
(1)求m 的值和抛物线的解析式；
(2) 结合函数图象，求不等式m x c bx x +>++2
的解集．
2．如图，二次函数的图象经过点D (0，39
7)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.
(1)求二次函数的解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上找一点P ，使P A +PD 最小，求出点P 的坐标．
3．已知抛物线2442y ax ax a =-+-，其中a 是常数．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若25
a >，且抛物线与x 轴交于整数点(坐标为整数的点)，求此抛物线的解析式．
4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y mx n =++经过P ，A (0，2)两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛
物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；
(3)在(2)的条件下，求到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标．
5．已知关于x 的二次函数y =x 2-（2m -1）x +m 2+3m +4.
（1）探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.
（2）设二次函数y 的图象与x 轴的交点为A （x 1，0），B （x 2，0），且21x +22x =5，与
y 轴的交点为C ，它的顶点为M ，求直线CM 的解析式.
6.已知抛物线223
4
y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）．
（1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；
（2）设抛物线与x 轴交于M 、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM 、ON ，且1123ON OM -=，求k 的值．
7． 已知二次函数y =x 2－(2m +4)x +m 2－4(x 为自变量)的图象与y 轴的交点在原点下方，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左边，且A ，B 两点到原点的距离AO 、OB •满足3(•OB －AO )=2AO ·OB ，直线y =kx +k 与这个二次函数图象的一个交点为P ，且锐角∠POB •的正切值4．
(1)求m 的取值范围；(2)求这个二次函数的解析式；(3)确定直线y =kx +k 的解析式．
8．已知：二次函数y =2(32)220(0)mx m x m m -+++=>．
(1)求证：此二次函数的图象与x 轴有两个交点；
(2)设函数图象与x 轴的两个交点方程的分别为(1x ,0)，(2x ,0)(其中12x x <)．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；
(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 满足什么条件时，2y m ≤．
9、关于x 的方程x 2－2ax ＋9＝0的两个实数根分别为α、β，则(α－1)2＋(β－1)2的最小值是 _______________
（4）已知函数y ＝x 2－4ax ＋2a ＋30的图象与x 轴无交点，求关于x 的方程
3
+a x ＝|a －1|＋1的根的范围.
（5）若关于x 的二次方程7x 2－(p ＋13)x ＋p 2－p －2＝0的两根α、β满足0＜α＜1＜β＜2，求实数p 的取值范围.
10. 设a ，b 为实常数，k 取任意实数时，函数y ＝(k 2＋k ＋1)x 2－2(a ＋k)2x ＋(k 2＋3ak ＋b)的图象与x 轴都交于点A(1，0).
① 求a 、b 的值；
② 若函数与x 轴的另一个交点为B ，当k 变化时，求|AB|的最大值
17．已知P (3,m -)和Q (1，m )是抛物线221y x bx =++上的两点．
(1)求b 的值；(2)判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出
它的实数根；若没有，请说明理由；
(3)将抛物线2
21y x bx =++的图象向上平移k (k 是正整数)个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．
18．已知：关于x 的一元二次方程063)2(22=-+-+m x m x .
(1)求证：x 无论为任何实数，方程总有实数根；
(2)抛物线m x m x y 63)2(22-+-+=与x 轴交于A 、B 两点，A 在原点左侧，B 在原点右侧，且OA =3OB ，请确定抛物线的解析式；
19．已知二次函数y ＝x 2－x ＋c ．
(1)若点A (－1，n )、B (2，2n －1)在二次函数y ＝x 2－x ＋c 的图象上，求此二 次函数的最小值；
20．已知关于x 的方程032)1(32=-+--m x m mx ．
(1)求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；
(2)若关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称．
①求这个二次函数的解析式；
②已知一次函数222-=x y ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值y 1≥y 2均成立；。