二次函数的图象和性质重点落实什么能力？2019北京中考26题重点题型------------ 必须会!!!!!!例1 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2443(0)y ax ax a a =-+-≠的顶点为A ．（1）求顶点A 的坐标；（2）过点(0,5)且平行于x 轴的直线l ，与抛物线2443(0)y ax ax a a =-+-≠交于B ，C 两点．①当2a =时，求线段BC 的长；②当线段BC 的长不小于6时，直接写出a 的取值范围．代数变形能力：2443(0)y ax ax a a =-+-≠通过配方转化为2(2)(0)3y a x a =-≠- 几何作图能力：考点： 二次函数的性质 分析：（1）配方得到y=ax2-4ax+4a-3=a （x-2）2-3，于是得到结论；（2）①当a=2时，抛物线为y=2x2-8x+5，如图．令y=5得到2x2-8x+5=5，解方程即可得到结论；②令y=5得到ax2-4ax+4a-3=5，解方程即可得到结论． 解答：(1)∵y =ax 2−4ax +4a −3=a (x −2)2−3， ∴顶点A 的坐标为(2,−3)；(2)①当a =2时,抛物线为y =2x 2−8x +5，如图。

令y =5，得 2x 2−8x +5=5，解得,x 1=0,x 2=4， ∴a2a4线段BC 的长为4， ②令y =5,得ax 2−4ax +4a −3=5， 解得,x 1=a a a 222 ,x 2=aaa 22-2∴线段BC 的长为a2a4 ∵线段BC 的长不小于6，∴a2a4≥6，∴0<a ≤8/9. 例2 已知：二次函数1422-++=m x x y ，与x 轴的公共点为A ，B .（1）如果A 与B 重合，求m 的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点； ①当1=m 时，求线段AB 上整点的个数； ②若设抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）整点的个数为n ，当1<<8n 时，结合函数的图象，求m 的取值范围.代数变形能力：1422-++=m x x y 通过配方转化为22(1)3y x m =++-*考点：抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征 分析：（1）当A 、B 重合时，抛物线与x 轴只有一个交点，此时△=0，从可求出m 的值． （2）①m=1代入抛物线解析式，然后求出该抛物线与x 轴的两个交点的坐标，从而可求出线段AB 上的整点；②根据二次函数表达式可以用带m 表达出两根之差，根据1<两根之差<8，即可解题． 解答：(1)∵A 与B 重合，∴二次函数y =2x 2+4x +m −1的图象与x 轴只有一个公共点， ∴方程2x 2+4x +m −1=0有两个相等的实数根， ∴△=42−4×2(m −1)=24−8m =0， 解得：m =3.∴如果A 与B 重合，m 的值为3.(2)①当m =1时,原二次函数为y =2x 2+4x +m −1=2x 2+4x ， 令y =2x 2+4x =0,则x 1=0,x 2=−2， ∴线段AB 上的整点有(−2,0)、(−1,0)和(0,0). 故当m =1时，线段AB 上整点的个数有3个。

②由点A ,B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内(包括边界)可用以下不等式表示 (3)如图，y =2x 2+4x +m −1=0时，二次函数求根公式可得aacb x b242-±-=；∴两个根之差为)1(242422--=-m aacb；∵整点的个数为n ，当1<n <8时，1<）（1-m 2-4<8；解得：0<m ≤2例3 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()01242≠-+-=m m mx mx y 与平行于x 轴的一条直线交于A ，B 两点． （1）求抛物线的对称轴；（2）如果点A 的坐标是（-1，-2），求点B 的坐标；（3）抛物线的对称轴交直线AB 于点C ，如果直线AB 与y 轴交点的纵坐标为-1，且抛物线顶点D 到点C 的距离大于2，求m 的取值范围．代数变形能力：()01242≠-+-=m m mx mx y 通过配方转化为(y m x =-几何作图能力：考点：二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征分析：（1）化成顶点式即可求得；（2）根据轴对称的特点求得即可；（3）求得顶点坐标，根据题意求得C的坐标，分两种情况表示出顶点D到点C的距离，列出不等式，解不等式即可求得．解答：(1)∵抛物线y=mx2−4mx+2m−1=m(x−2)2−2m−1，∴对称轴为x=2；(2)∵抛物线是轴对称图形，∴点A点B关于x=2轴对称，∵A(−1,−2)，∴B(5,−2).(3)∵抛物线y=mx2−4mx+2m−1=m(x−2)2−2m−1，∴顶点D(2,−2m−1).∵直线AB与y轴交点的纵坐标为−1，∴C(2,−1).∵顶点D到点C的距离大于2，∴−2m−1+1>2或−1+2m+1>2，∴m<−1或m>1.l例4 在平面直角坐标系xOy 中，直线32-=x y 与y 轴交于点A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线32-=x y 交于点C. （1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线n nx nx y 542+-= (n ＞0)与线段BC 有唯一 公共点，求n 的取值范围．代数变形能力：n nx nx y 542+-= (n ＞0)通过配方转化为2(2)y n x n =-+(n ＞0)考点：二次函数的性质，一次函数的性质分析：（1）根据题意分别求出点A、B、C的坐标；（2）求得抛物线的对称轴，顶点的坐标；再分类讨论①当n>3时；②当n=3时；③当0<n<3时，抛物线y=nx2-4nx+5n（n>0）与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围．解答：(1)∵直线y=2x−3与y轴交于点A(0,−3)，∴点A关于x轴的对称点B(0,3)，l为直线y=3，∵直线y=2x−3与直线l交于点C，∴点C坐标为(3,3)，(2)∵抛物线y=nx2−4nx+5n(n>0)，∴y=nx2−4nx+4n+n=n(x−2)2+n(n>0)∴抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,n)，∵点B(0,3),点C(3,3)，①当n>3时，抛物线的最小值为n>3，与线段BC无公共点；②当n=3时,抛物线的顶点为(2,3)，在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；③当0<n<3时，抛物线最小值为n，与线段BC有两个公共点；如果抛物线y=n(x−2)2+n经过点B,则3=5n,解得n=3/5，由抛物线的对称轴为直线x=2,可知抛物线经过点(4,3)，点(4,3)不在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；如果抛物线y=n(x−2)2+n经过点C,则3=2n,解得n=3/2，由抛物线的对称轴为直线x=2,可知抛物线经过点(1,3)，点(1,3)在线段BC上，此时抛物线与线段BC有两个公共点；综上所述,当3/5≤n<3/2或n=3时，抛物线与线段BC有一个公共点。

例5 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+2(m≠0)与y轴交于点A，其对称轴与x 轴交于点B．（2）点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且与点B的距离都为2，若该抛物线与线段CD有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．代数变形能力：y=mx2-2mx+2(m≠0)通过配方转化为2(1)2=-+-y m x m几何作图能力：考点：抛物线与x轴的交点分析：（1）求出x=0时y的值与y=0时x的值即可得答案；（2）分m>0和m<0两种情况，结合函数图象可得．解答：(1)由题意，当x=0时，y=2.∴A(0,2).∵y=mx2−2mx+2=m(x−1)2+2−m，∴对称轴为直线x=1.∴B(1,0).(2)由题意,C(−1,0),D(3,0).①当m>0时，结合函数图象可知，满足题意的抛物线的顶点须在x轴下方，即2−m<0.∴m>2.②当m<0时，过C(−1,0)的抛物线的顶点为E(1,8/3).结合函数图象可知，满足条件的抛物线的顶点须在点E上方或与点E重合，即2−m≥8/3.∴m≤−2/3.综上所述,m的取值范围为m>2或m≤−2/3.例6 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2222+-+-=m m mx x y 的顶点为D.线段AB 的两个端点分别为A （-3，m ），B （1，m ）. （1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）若该抛物线经过点B （1，m ），求m 的值；（3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围.代数变形能力：2222+-+-=m m mx x y 通过配方转化为2()2y x m m =-+- 几何作图能力：考点：二次函数的性质分析：（1）由y=x2-2mx+m2-m+2=（x-m）2-m+2，于是得到结论；（2）由于抛物线经过点B（1，m），得方程于是得到结论；（3）根据题意得到线段AB：y=m（-3≤x≤1），与y=x2-2mx+m2-m+2联立得到x2-2mx+m2-2m+2=0，令y′=x2-2mx+m2-2m+2，若抛物线y=x2-2mx+m2-m+2与线段AB只有1个公共点，于是得到结论．解答：(1)∵y=x2−2mx+m2−m+2=(x−m)2−m+2，∴D(m,−m+2)；(2)∵抛物线经过点B(1,m)，∴m=1−2m+m2−m+2，解得：m=3或m=1；(3)根据题意：线段AB:y=m(−3⩽x⩽1)，与y=x2−2mx+m2−m+2联立得：x2−2mx+m2−2m+2=0，令y′=x2−2mx+m2−2m+2，若抛物线y=x2−2mx+m2−m+2与线段AB只有1个公共点，即函数y′在−3⩽x⩽1范围内只有一个零点，当x=−3时,y′=m2+4m+11<0，∵△>0，∴此种情况不存在，当x=1时,y′=m2+4m+11<0，解得1<m<3.例7 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y ax ax a a =--≠与x 轴交于A ,B 两点，点A 在点B 的左侧，抛物线的顶点为P ,规定：抛物线与x 轴围成的封闭区域称为“G 区域”（不包含边界）.（1）如果该抛物线经过（1, 3），求a 的值，并指出此时“G 区域”有______个整数点；（整数点就是横纵坐标均为整数的点）（2）求抛物线223(0)y ax ax a a =--≠的顶点P 的坐标（用含a 的代数式表示）； （3）如果G 区域中仅有4个整数点时，直接写出a 的取值范围.代数变形能力：223(0)y ax ax a a =--≠通过因式分解转化为()()13(0)y a x x a =+-≠ 几何作图能力：备用图考点：抛物线与x轴的交点，二次函数的性质分析：（1）将点（1，3）代入抛物线解析式中，即可求出a值，再分析当x=0、1、2时，在“G 区域”内整数点的坐标，由此即可得出结论；（2）利用配方法将抛物线的解析式变形为顶点式，由此即可得出顶点P的坐标；（3）分a<0及a>0两种情况考虑，依照题意画出图形，结合图形找出关于a的不等式组，解之即可得出结论．解答：(1)∵抛物线y=a(x+1)(x−3)经过(1,3)，∴3=a(1+1)(1−3)，解得：a=−3/4.当y=−3/4(x+1)(x−3)=0时,x1=−1,x2=3，∴点A(−1,0),点B(3,0).当x=0时,y=−3/4(x+1)(x−3)=9/4，∴(0,1)、(0,2)两个整数点在“G区域”；当x=1时,y=−3/4(x+1)(x−3)=3，∴(1,1)、(1,2)两个整数点在“G区域”；当x=2时,y=−3/4(x+1)(x−3)=9/4，∴(2,1)、(2,2)两个整数点在“G区域”。