有可加性。
（2） ~ Wp (n,) ，C为m×p阶的矩阵，则CC的分布
为Wm (n,CC) 分布。
（3） ~ Wp (n,) ，a 为任一p元常向量，满足a 'a 0 ,
则 a ' Aa ~ 2 (n) .
a 'a
三、 多元正态分布总体的抽样分布
定理1：设X1,X2,……Xn是来自多元正态总体Np(,) 的简单随机样本，有
二、协方差矩阵
1、定义：设 x (x1, x2,, xp )和 y ( y1, y2,, yq ) 分 别为 p 维和 q 维随机向量，则其协方差矩阵为
E
x1 x2
E(x1) E(x2 )
y1
E( y1)
xp E(xp )
y2 E( y2 )
yq
E(
yq
)
cov(
x1
x (x1, x2,, xp )
2.第 个样品的观测值：
x( ) (x1, x 2 , , x p ), 1, 2, , n
3.样本资料矩阵：
x11 x12
X
x21
x22
xn1
xn 2
x1q
x2q
(
X1,
X
2
,
xnq
,
X
q
)
X' (1)
X' (2)
X
' (n
)
定义：设 x1, x2 , , xp为p个随机变量，则由它们
设X =(X1,X2)'遵从二元正态分布，则
11 11
12 12
＝
2 1
1
1 2r
2r
2 2
,
r
1,
＝
12
2 2
(1
r2 ),
1
1
12
2 2
(1
r2)
2 2
1 2r
1 2r
2 1
故X1与X2的密度函数为
f
( x1 ,
x2
)
2π1
2
1 (1
r2
)1/2
exp
1 2(1
r2
)
(
x1
1)2 12
2r
( x1
1 )( x2 1 2
2
)
( x2
2
2 2
)2
思考：r=0,r>0,r<0分别意味着什么？
二、多元正态分布的性质
1、如果正态随机向量X =(x1, x2, , xp ) '的协方差阵 是 对角阵，则X的各分量是相互独立的随机变量。
2、多元正态分布随机向量X的边际分布仍然遵从正态
第一章 多元正态分布
主要内容
§1 一元分布 §2 多元分布的基本概念 §3 随机向量的数字特征 §4 多元正态分布 §5 样本分布
§2 多元分布的基本概念
一、随机向量 二、多元概率分布函数 三、多元概率密度函数 四、边际分布 五、条件分布 六、独立性
§2 多元分布的基本概念
一、随机向量
1.对同一个体观测的p个变量：
x1 (x11, x12 ,, x1p )
x2 (x21, x22 ,, x2 p )
xn (xn1, xn2 ,, xnp )
令
1 n
n i 1
i
，
S
n
i1(Xi
X)(Xi
X)
则有
S
n
X
i1
j Xj
nXX
1、
~
N
p
(,
1ห้องสมุดไป่ตู้n
)
2、和S相互独立
3、S ~ Wp (n 1,)
f(1) (x1,, xq )
f (x1, x2 , xp )dxq1dxp
F(1) ()称为F ()的边际分布函数， f(1) ()称为f ()的边际分布密度函数。
§3 随机向量的数字特征
一、数学期望：均值 二、协方差矩阵 三、相关系数矩阵
§3 随机向量的数字特征
一、数学期望：均值
x11
Var
(x)
cov(
x2
,
x1
)
cov( x1, x2 )
var( x2 )
cov( x1, xp ) cov( x2, xp )
cov( xp , x1) cov( xp , x2 ) var( xp )
2、协方差矩阵的性质
1）若x=(x1,x2,…，xp)’ 和y=(y1,y2,…，yp)'不 相关，则
在多元正态随机变量也有类似的样本分布，即维希特 分布。
当 1 ，p 1 时，由卡方分布的定义可知
n
A xi2 ~ 2 (n) i 1
可见维希特分布是卡方分布在多元下的推广。
3、维希特（Wishart）分布的密度函数
定理1：若 ~ Wp (n,) ，且 0 ，n p ，则 的分布密度
为
r(x1, xp )
r ( x2
,
xp
)
(rij
)
p×p
r(xp , xp )
§4 多元正态分布
一、多元正态分布的定义 二、多元正态分布的性质 三、多元正态分布的条件分布和独立性 四、均值向量和协方差阵的点估计
§4 多元正态分布
一、多元正态分布的定义
定义 ： 若p元随机变量X =(x1, x2, , xp ) '的概率密度函数为：
f (x1, x2 ,
, xp)
(2 ) p
2
1 2
exp[
1 (x )1(x
2
)]
( 0)
则称X =(x1, x2, , xp ) '遵从p元正态分布，也称X为p元正态变量。
记为 ： X ~ N p (, ).
定理 ： 设X ~ N p (, )，则 E(X ) ，D(X ) .
❖ 例：二元正态分布的密度公式
X' (2)
X
' (n
)
设样品X(1) , , X(n)相互独立，同遵从于p元正态分布N p (, )，
且n > p， 0，则
1、总体均值的估计值为样本均值向量
n
xi1
i=1 n
X
1
ˆ
X
1 n
n i 1
X (i)
1 n
i=1
xi2
X2
n X p
i=1
xip
是的无偏估计。
2、总体协方差阵的极大似然估计为：
ˆ m
1 n
S
1 n
n i 1
( X(i)
X )( X (i)
X )
n
(xi1 X1)2
i1
1 n
n
(xi1 X1)(xi2 X 2 )
i 1
n
(xi2 X 2 )2
i1
n
( xi1
X 1 )( xip
X
p
)
i 1
n
(xi2 X 2 )(xip X p )
矩阵 除主对角线上的元素外均为零，即
var( x1)
Var
(x)
0
0
var( x2 )
0 0
0
0
var( xp )
2）随机向量X的协方差矩阵是非负定矩阵。 证：设a为任意与X有相同维数的常数向量，则
aa a[E(x )(x )]a
E[a(x )(x )a] E[a(x )]2 0
3）设A是常数矩阵，b为常数向量，则 V(AX+b)=AV(X)A’ ；
V (AX b)
E[(AX b) (A b)] [(AX b) (A b)]
AE[(x )(x )]A AV (x)A
4)若x=(x1,x2,…，xp)’ 和y=(y1,y2,…，yq)分别 是p和q维随机向量，A和B为常数矩阵，则
，则随机矩阵
n
i
i
i1
A X X
x11 x21
x12
x22
x1
p
x2 p
xn1 x11 x12
xn
2
x21
x22
xnp
xn1
xn2
x1p
x2
p
xnp
n
X il X lj
l 1
服从自由度为 n 的非中心维斯特分布，记为 ~ Wp (n,,。μ)
在一元正态随机变量中，我们曾经讨论了分2 布，
4、若 X ~ NP (, ) ，则 d 2 (X )'1(X ) ~ 2 ( p).
三、多元正态分布的条件分布和独立性
定理：
四、均值向量和协方差阵的点估计
若样本资料阵为：
x11 x12
X
x21
x22
xn1
xn 2
x1p
x2
p
(
X1,
X
2
,
xnp
,
X
p
)
X' (1)
Cov(Ax,By) ACov(x, y)B
证 Cov(Ax,By) E{[(Ax AE(x)][(Bx BE(x)]}
AE[(x )(x )]B 5)若k1,k2,…，kn是n个不全为零的常数， x1,x2,…，xn是相互独立的p维随机向量，则
V (k1x1 k2x2 knxn ) k12V (x1) k22V (x2 ) kn2V (xn )
1、定义：X
x21
x12 x1q
x22
x2
q
x
p1
xp2
x
pq
是由随机变量构成的随机矩阵，定义X的数学 期望为
E(x11)