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其密度函数为
J(u x) A 1 AA 1 2
f (x1, x2 , , xp )
(2 ) p 2 exp[ 1 (x μ) A1 A1(x μ)] | J |
2
(2 ) p 2 Σ 1 2 exp[ 1 (x μ)Σ1(x μ)]
2
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值得注意
设随机向量 u ~ Nq (0, I ) ，μ是常数向量，A 是一
则 u (u1,u2 ,,u p ) 密度函数为
f (x1, x2 , , xp )
n
i1
1
2
exp( 1 2
xi2 )
(2 ) p
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2 exp( 1 2
p i1
xi2 )
3
ui i 1,2,, p
其中的
u (u1, u2 ,, u p )
均值为 E(u) (Eu1,Eu2, ,Eup ) 0
个 p*q的常数矩阵，则 x Au 服从正态分布，记 为 x ~ Np ( , ) ，其中 AA( p * p)
若 rank (A) p( p q)，则Σ－1存在，x Au 是非退化 p元正态分布；
若 rank (A) p( p q)，则Σ1不存在，x Au 是退化 p元正态分布，不存在密度函数。
第二节 多元正态分布的性质
一、多元正态分布的特征函数
(t) exp(it 1 tt)
2
二、x是一个服从p维正态分布，当且仅当它的任何 线性函数 ax 服从一元正态分布N p (μ, Σ)。
三、 X服从 p 维正态分布，则 y Cx b ，其中C为 r p 常数矩阵，b为 r 维的常数向量，则
Σ1
Σ1 11
Σ
1 22
f
(
x1,
x2
,,
x
p
)
(2
)
p
2
1 2
exp[
1 2
(x
μ)Σ
1
(x
μ)]
(2 ) p 2 Σ11 1 2 Σ22 1 2
exp[
1 2
(x1
μ1)
(x2 μ2 )
Σ1 11
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Σ1 22
(x1 (x2
μ1) μ2)
]
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(2 ) p 2 Σ11 1 2 Σ22 1 2
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1 0
例：设随机向量 u ~ N 2 (0, I ) ，x Au ，A 0 1 ，则 x 的分布是
退化的三元正态分布。
1 1
1 0
1 0 1
Σ AA 0 1
1 1
1 0
0 1
1 1
0 1
1 1
1 2
1 0 1
Σ 0
1
1
1 1
10
21
1 211 0
1
1 1 2
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矩阵，u (u1,u2 ,,u p ) 服从 p 维标准正态分布，则
x Au
服从p维正态分布，且均值向量为
E (x) (Ex1, Ex2 ,, Ex p ) (1, 2 ,, p )
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x的协方差矩阵为
Var(x) E(x )(x )
EAuuA
AEuuA
AIA AA Σx
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4
协方差矩阵为
u12 u1u2 u1u p
Var
(u)
E(uu)
E
u
2u1
u
2 2
u
2u
p
u pu1 u pu2
u
2 p
1
1
I
1
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二、一般的正态分布
设随机向量 x (x1, x2 ,, x p ) ,若其的密度函数为
f (x1, x2, , xp )
1
y Σ 2 (x μ)
1
Var(y) Var[Σ 2 (x μ)]
1
1
Σ 2Var(x μ)Σ 2
1
1
Σ 2ΣΣ 2 Ι
y是p维标准正态分布，故yy服从（2 p)分布。
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七、将 x, ,作如下的分块：
11 21
12 k 22 k p
1 2
p
k
k
x
x1 x2
p
k
k
子 x1, x2 向量相互独立，当且仅当 12 0。 证：必要性
又
x1和 x 2相互独立 Σ12 E[(x1 μ1 )( x2 μ2 )]
Σ12 E(x1 μ1 )E( x2 μ2 )]
Σ12 0
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充分性 Σ12 0
Σ1
Σ1 11 0
0
Σ
1 22
Σ Σ11 Σ22
(x1 1)(xp p )
(x2 2 )(xp p )
(xp
)(x1
1 )
(xp p )(x2 2 )
(xp p)2
称 x (x1, x2 ,, x p ) 服从均值为E(X)，协方差为的正态分布。
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三、一般的p维正态和p维标准正态的关系 设 x Au ，其中 A 是一个 p 阶非退化
exp[
1 2
(x1
μ1)Σ111
(x2
μ2
)Σ221
(x1 (x2
μ1)
μ2
)
]
(2 ) p 2 Σ11 1 2 Σ22 1 2
exp[ 1 2
(x1
μ1)Σ111(x1
μ1)
(x2
μ
2
)Σ
1 22
(
x2
(2 ) p 2 Σ 1 2 exp[ 1 (x - μ)Σ-1(x - μ)]
2
xi
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其中 x (x1, x2 ,, x p ) 的均值为E (x) (1, 2 ,, p )
协方差为
(x1 1)2
E (x2
2 )(x1
2
)
(x1 1)(x2 2 ) (x2 2 )2
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五、设 x1, x2 ,, xn , xi ~ N p (i , i ) i， 1,2,, n 相互独立， 且，则对任意 n 个常数 k1,, kn ，有
n
kixi
~
N
p
(
n
i
,
n
ki2
i
).
i 1
i1 i1
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六、x ~ N p (μ, Σ) ，则(x - μ)Σ-1(x - μ) ~ 2 ( p)分布。
y
~
Nr
(C
b, CC) ppt课件
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Байду номын сангаас
四、设 x ~ N p (,) ，则 x 的任何子向量也服从多元正态 分布，其均值为 的相应子向量，协方差为 的相应子矩 阵。
x x1 k μ μ1 k
x2 p k
μ2 p k
Σ Σ11 Σ12 k Σ21 Σ22 p k
第二章 多元正态分布及其抽样分布
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第一节 第二节 第三节 第四节
内容
多元正态分布的定义 多元正态的性质 多元正态参数的极大似然估计 多元正态的样本分布
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第一节 多元正态分布的定义
一、标准多元正态分布
设随机向量 u (u1,u2 ,,u p ) 其分量独立同分布于 N (0,1)