1 2
k pk
x
x1 x2
p
k
k
子x1,x2向量相互独立，当且仅当 120。 证：必要性
x1和x2相互独立 又 Σ 1 E 2 [ ( 1 μ x 1 ) x 2 ( μ 2 ) ]
Σ 1 E 21 μ 1 ) ( x 2 E x μ 2 ) ](
Σ120
充分性 Σ120
f (x1, x2 , , xp )
n
i1
1
2
exp(12xi2)
(2
)p2exp(1 p 2i1
xi2)
ui i 1,2, , p
其中的
u (u1, u2 , , u p )
均值为 E(u) (Eu1,Eu2, ,Eup ) 0
协方差矩阵为u12Var来自(u)E(uu)
退化的三元正态分布。
1 1
1 0
1 0 1
Σ AA 0 1
1 1
1 0
0 1
1 1
0 1
1 1
1 2
1 0 1
Σ 0
1
1
1 1
10
21
1 211 0
1
1 1 2
第二节 多元正态分布的性质 一、多元正态分布的特征函数
(t) exp(it 1 tt)
2
二、x是一个服从p维正态分布，当且仅当它的任何 线性函数 ax 服从一元正态分布N p (μ, Σ)。
x2 p k
μ2 p k
Σ Σ11 Σ12 k Σ21 Σ22 p k
五、设 x1, x2 , , xn , xi ~ N p (i , i ) i， 1,2, , n 相互独立， 且，则对任意 n 个常数 k1, , kn ，有
n
kixi
~
N
p
(
n
i
,
n
ki2
i
).
i 1
i1 i1
E
u
2u1
u pu1
u1u2
u
2 2
upu2
u1u p
u
2u
p
u
2 p
1
1
I 1
二、一般的正态分布
设随机向量 x (x1, x2 , , x p ) ,若其的密度函数为
f(x1,x2,L,xp)
(2 ) p 2 Σ 1 2 exp[ 1 (x - μ)Σ-1(x - μ)]
E (x) (Ex1, Ex2 , , Ex p ) (1, 2 , , p )
x的协方差矩阵为
V a r ( x ) E ( x ) ( x )
EAuuA AEuuA
AIA AA Σx
其密度函数为
J(u x) A 1 AA 1 2
f (x1, x2 , , xp )
Σ1 Σ0111
0 Σ212
ΣΣ11Σ22
Σ1 Σ111
Σ212
f
(x1, x2 ,
, xp )
(2 ) p
2
1 2
exp[ 1 (x 2
μ)Σ 1 (x
μ)]
(2) p2Σ 1 1 12Σ 2 2 12
e x p [ 1 2 (x 1 μ 1 ) (x 2 μ 2 ) Σ 1 1 1 Σ 2 2 1 ( ( x x 2 1 μ μ 1 2 ) ) ]
若 rank (A) p( p q)，则Σ－1存在，x Au 是非退化 p 元正态分布；
若 rank (A) p( p q)，则Σ1不存在，x Au 是退化 p元正态分布，不存在密度函数。
1 0
例：设随机向量 u ~ N 2 (0, I ) ，x Au ，A 0 1 ，则 x 的分布是
六、x~Np(μ,Σ)，则(x -μ )Σ -1 (x -μ )~2 (p ) 分布。
1
yΣ2(xμ)
1
Va (y)rVa [Σr2(xμ])
1
1
Σ2Va(rxμ)Σ2
1 1
Σ2ΣΣ2 Ι
y是 p维标准正态 yy服 分从 （ 布 2 p)分 ，布 故。
七、将 x,,作如下的分块：
1211
12 k 22kp
(xp p)2
称 x (x1, x2 , , x p ) 服从均值为E(X)，协方差为的正态分布。
三、一般的p维正态和p维标准正态的关系 设 x Au ，其中 A 是一个 p 阶非退化
矩阵，u (u1,u2 , ,u p ) 服从 p 维标准正态分布，则
x Au
服从p维正态分布，且均值向量为
( 2 ) p 2 e x p [ 1 ( x μ ) A 1 A 1 ( x μ ) ] |J | 2
(2 ) p 2 Σ 1 2 exp[ 1 (x μ)Σ1(x μ)]
2
值得注意
设随机向量 u ~ Nq (0, I ) ，μ是常数向量，A 是一
个 p*q的常数矩阵，则 x Au 服从正态分布，记 为 x ~ Np ( , ) ，其中 AA( p * p)
(2) p2Σ 1 1 12Σ 2 2 12
e x p [ 1 2 (x 1 μ 1 )Σ 1 1 1 (x 2 μ 2 )Σ 2 2 1 ( (x x 2 1 μ μ 1 2 ) ) ]
(2) p2Σ 1 1 12Σ 2 2 12
e x p [ 1 2 ( x 1 μ 1 ) Σ 1 1 1 ( x 1 μ 1 ) ( x 2 μ 2 ) Σ 2 2 1 ( x 2 μ 2 ) ]
第二章 多元正态分布及其抽样分布
第一节 第二节 第三节 第四节
内容
多元正态分布的定义 多元正态的性质 多元正态参数的极大似然估计 多元正态的样本分布
第一节 多元正态分布的定义
一、标准多元正态分布
设随机向量 u (u1,u2 , ,u p ) 其分量独立同分布于 N (0,1)
则 u (u1,u2 , ,u p ) 密度函数为
三、 X服从 p 维正态分布，则 y Cx b ，其中C为 r p 常数矩阵，b为 r 维的常数向量，则
y ~ N r (C b,CC)
四、设 x ~ N p (,) ，则 x 的任何子向量也服从多元正态 分布，其均值为 的相应子向量，协方差为 的相应子矩 阵。
x x1 k μ μ1 k
2
xi
其中 x (x1, x2 , , x p ) 的均值为E (x) (1, 2 , , p )
协方差为
(x1 1)2
(x1 1)(x2 2 )
E (x2 2 )(x1 2 )
(x2 2 )2
(xp
)(x1
1 )
(xp p )(x2 2 )
(x1 1)(xp p ) (x2 2 )(xp p )