1 2
Σ Σ11 Σ22
f ( x1 , x2 , , x p ) ( 2 )
(2 )
p 2
p 2
1 Σ22
1 exp[ (x μ)Σ 1 (x μ)] 2
1 2
Σ11
1 2
Σ22
1 (x1 μ1 ) Σ 1 11 exp[ (x1 μ1 ) (x2 μ 2 ) ] 1 2 Σ22 (x2 μ 2 )
n
六、x ~ N p (μ, Σ) ，则(x - μ)Σ-1 (x - μ) ~ 2 ( p)分布。

y Σ (x μ) Var(y ) Var[ Σ (x μ)] Σ Var(x μ)Σ
1 2 1 2 1 2

1 2
Σ ΣΣ Ι
2 y是p维标准正态分布，故yy服从（ p)分布。
服从p维正态分布，且均值向量为
E ( x ) ( Ex1 , Ex 2 , , Ex p ) ( 1 , 2 , , p )
x的协方差矩阵为
Var (x) E(x )(x )
E AuuA
AE uu A
AIA
AA Σx
系数，定义为
ij.k 1,, p
ij.k 1,, p ii.k 1,, p jj .k 1,, p
它度量了在值 xk 1 ,, xp给定的条件下，xi 与 x j （ i, j k ）相关性的强弱。
例 设X~N6( ,)，其协方差矩阵为，计算偏相 关系数。
7.033 2.168 3.540 4.981 2.874 30.530
为 x 2 给定的条件下 x1 数学期望。
1 Σ11.2 Σ11 Σ12Σ 22 Σ21是x 2的条件下x1的条件协条件协方差。
十二、偏相关系数
矩阵Σ11.2称为条件协方差矩阵，它的元素用 ij.k 1,, p 表示。是当 x2 给定的条件下，xi 与 x j（ i, j k ）的偏相关
证：
令
x1 x I 0 x2 z Σ 21Σ
1 11
x1 I x2
I
x1 1 Σ Σ I 0 var cov(x1,z) 21 11 x2
x1 I 0 var x2 Σ11 I 0 Σ 21
1 2
1 1 1 exp[ (x1 μ1 )Σ11 (x1 μ1 ) ( x 2 μ 2 )Σ 22 ( x 2 μ 2 )] 2 1 1 k / 2 2 ( 2 ) 11 exp[ (x1 μ)Σ 1 (x1 μ)] 2
Байду номын сангаас11
.( 2 )
1 0 1 0 1 1 0 1 Σ AA 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 1 0 1 1 1 0 1 Σ 0 1 1 2 11 0 1 2 1 1 1 1 2

i 1 n
N ( 0,1)
u (u1 , u 2 , , u p ) 密度函数为
1 1 exp( xi2 ) 2 2
(2 )
p 2
1 p 2 exp( xi ) 2 i 1
ui
i 1, 2, , p
其中的
u ( u1 , u 2 , , u p )

1 2

1 2
七、将 x, , 作如下的分块：
11 21 12 k 1 k 22 k p 2 p k
x1 k x x 2 p k
子 x1 , x2 向量相互独立，当且仅当 12 0。 证：必要性
Σ11 Σ Σ 21
Σ12 k Σ 22 k p
μ1 k μ μ 2 p k
x1 k x x 2 p k
则给定 x 2 时 x1 的条件分布为 N k ( 12 , 112 ) ，其中
1 μ12 μ1 Σ12Σ 22 (x 2 μ 2 ).
xi
其中 x ( x1 , x 2 , , x p ) 的均值为 E ( x ) ( 1 , 2 , , p ) 协方差为
( x1 1 ) 2 ( x1 1 )( x2 2 ) ( x1 1 )( x p p ) 2 ( x )( x ) ( x ) ( x )( x ) 2 2 1 2 2 2 2 2 p p E 2 ( x )( x ) ( x )( x ) ( x ) 1 1 p p 2 2 p p p
(2 )
p 2
Σ11
1 2
Σ22
1 2
(x1 μ1 ) 1 1 1 exp[ (x1 μ1 )Σ11 ( x 2 μ 2 )Σ 22 ] 2 (x 2 μ 2 )
(2 )
p 2
Σ11
1 2
Σ22
1, 2, , n 相互独立， 五、设 x1 , x 2 , , x n , x i ~ N p ( i , i ) i，
且，则对任意 n 个常数 k1 , , k n ，有
i 1
ki x i
n
~ N p ( i , k i2 i ).
i 1 i 1
n
p 元正态分布；
－1存在，x
Au 是非退化
若 rank ( A ) p ( p q ) ，则Σ 1不存在， x Au 是退化
p 元正态分布，不存在密度函数。
1 0 例：设随机向量 u ~ N 2 ( 0, I ) ， A 0 1 ，则 x 的分布是 x Au ， 退化的三元正态分布。 1 1
Σ
21
Σ
1 11
I

Σ12 1 Σ Σ 21 11 Σ 22
I
Σ11
1 Σ12 Σ11 Σ12 I
Σ12 Σ12 0
1 所以x1与x2 Σ21Σ11 x1相互独立。
十一、将 x, , 作如下的分块：
常数矩阵，b为 r 维的常数向量，则
y ~ N r ( C b , C C )
四、设 x ~ N p ( , ) ，则 x 的任何子向量也服从多元正态 分布，其均值为 的相应子向量，协方差为 的相应子矩 阵。
x1 k x x2 p k μ1 k μ μ2 p k Σ11 Σ Σ 21 Σ12 k Σ 22 p k
p 2
值得注意
设随机向量 u ~ N q (0, I ) ， μ 是常数向量，A 是一 个 p * q 的常数矩阵，则 x Au 服从正态分布，记 为 x ~ N p ( , ) ，其中 A A ( p * p ) 若 rank ( A ) p ( p q )，则Σ
1 1 I 1
二、一般的正态分布
设随机向量 x ( x1 , x 2 , , x p ) ,若其的密度函数为
f ( x1, x2 ,, x p )
(2 )
p 2
Σ
1 2
1 exp[ (x - μ)Σ -1 (x - μ)] 2
其密度函数为
J (u x ) A
1
AA
1 2
f ( x1 , x2 , , x p )
1 1 1 (2 ) exp[ ( x μ) A A ( x μ)] | J | 2 1 1 2 p 2 (2 ) Σ exp[ ( x μ )Σ 1 ( x μ )] 2
第二章 多元正态分布及其抽样分布
内
第一节 第二节 第三节 第四节
容
多元正态分布的定义 多元正态的性质 多元正态参数的极大似然估计 多元正态的样本分布
第一节
多元正态分布的定义
一、标准多元正态分布
设随机向量
u ( u1 , u 2 , , u p )
其分量独立同分布于 则
f ( x1 , x2 , , x p )
称 x ( x1 , x 2 , , x p ) 服从均值为E(X)，协方差为的正态分布。
三、一般的p维正态和p维标准正态的关系 设 x Au ，其中 A 是一个 p 阶非退化 矩阵， u (u1 , u 2 , , u p ) 服从 p 维标准正态分布，则
x Au
均值为 E(u) (Eu1 ,Eu 2 , ,Eu p ) 0
协方差矩阵为
u12 u1u 2 u1u p 2 u u u u u 2 1 2 2 p Var (u) E(uu) E 2 u u u u u p 2 p p 1

又
x1和 x2相互独立
Σ12 E[(x1 μ1 )( x2 μ 2 )] Σ12 E(x1 μ1 )E( x 2 μ 2 )] Σ12 0
充分性

Σ12 0
1 Σ 11 1 Σ 0
0 1 Σ 22
1 Σ 11 1 Σ
第二节
多元正态分布的性质
一、多元正态分布的特征函数
1 (t ) exp(it t t ) 2
二、x是一个服从p维正态分布，当且仅当它的任何
线性函数 ax 服从一元正态分布N p (μ , Σ )。
三、 X服从 p 维正态分布，则 y Cx b ，其中C为 r p