第十三章电路和磁路13-1 在图所示的电路中，电源的电动势分别为 1 1.0V , 22.0V 和3 3.0V ，内阻都忽略不计; 各电阻的阻值分别为 R 1 = 3.0 ，F 2 = 2.0和F 3 = 1.0 。

求各支路的 电流。

解：选择各支路上电流的标定方向和两个回路的绕行方向，如图所示。

列出列出两个回路的回路电压方程式:1 2 hR 1 2 R 2 2 231213R33以上三个方程式联立求解，可得：I 10.46A ； l 2 0.18A ； l 3 0.64A11和丨2为负值，表示这两个支路上电流的实际方向与所选标定方向相反。

13-2 三个电源的电动势分别为 e 1 = 1.2 V ，e 2 = 1.5 V 和e 3 = 2.0 V ，内阻为 n =「2=心=0.15 ，按 图12-7所示方式联接。

已知电阻 R = 0.56，求各支路上的电流。

解 选择各支路上电流的标定方向，以及两个回路（分别标以1和2）绕行方向，如图12-7所示。

列出节点13-3交流电的峰值、有效值和瞬时值三者有何区别和联系？答：交流电简谐量（电动势、电流i 和电压u ）的瞬时值可以表示为:节点B 的节点电流方程式:111 2 13(1)A 的节点电流方程式:列出两个回路的回路电压方程式31112(1)2 1丨2「2 I 1「12 23I2r2 13 r 3R3以上三个方程式联立求解，可得:I 1 1.1A ； I 2 3.1A ； I 3 4.3A小相等?感抗与容抗相等的频率：因为:COS ti I 0 cos t i 其中: 电动势 、电流i 和电压u 为瞬时值；而他们的最大值（峰值）分别u U 0 cos t u为：0、I 0、U 0 ;有效值分别为:I1- I 0、U IU 0。

从物理意义上看，有效值是 、、2 、. 2如果某交流电通过一个电阻在一个周期内产生的焦耳热, 与某恒定电流通过同一电阻在相同时间内产生的 焦耳热相等，那么这个恒定电流的量值就是该交流电的有效值。

12-4 计算：⑴ 电感为 15 H 的线圈在50 Hz 和500 Hz 频率时的感抗；（2）电容为15 F 的电容器在50 Hz 和500 Hz 频率时的容抗;（3）在多大频率时电感为 15 H 的线圈的感抗与电容为 15 F 的电容器的容抗大解：⑴ 感抗: 50 15 k 4.7k2L500 15 k 47k容抗:1C______ 1 15 10 6 2502.1 1022C115 106221500所以:1----- 67 rad s CL10.6Hz 11Hz12-5 计算: （1）将电感为10 H 的线圈与电容为 10 F 的电容器串联, 接于频率为 100 Hz 的交流电路上 的电抗; 将电感为10 H 的线圈与电容为10F 的电容器并联，接于频率为100 Hz 的交流电路上的电抗。

解（1） LC 串联的阻抗:L —6.1 103C表现为正电抗。

LC 并联的阻抗:即得:Zj L212LC所以：ZL=— 12LC1.6 102表现为负电抗。

13-6 将RL 串联电路接在电压峰值为50 V 角频率为1.0 103 rads 1的交流电源两端。

其中 R = 3.0 1021，L = 9.010 H,试求：（1）电路的阻抗；（2）电流的峰值；（3）电阻和电感两端的电压峰值； （4）电流与电压之间的相位差，并说明电流是超前还是落后；（5）画出矢量图。

电流落后于电压71 34。

（5）矢量图如图所示。

13-7 一个线圈若接到直流电源的两端，当电压为 100 V 时，电流为5.0 A 。

现将这个线圈接到有效值为100 V 的交流电压的两端，电流的有效值为 4.0 A 。

如果交流电的频率为50 Hz ，求线圈的电感。

解：在直流情况下线圈的电阻 R 为：RU20I在交流情况下，可将线圈的复阻抗写为：Z R j L由已知条件可以求得线圈的阻抗为：ZU25I根据阻抗的表达式：Z . R 22L2于是可以求得线圈的电感为:Z 2 R 215 250H 4.8 10 2HO解: （1）电路的阻抗：Z RL 所以：Z ,R 2 2L 29.5 102⑵电流的峰值：|0°05.3 10 2AZ（3）电阻两端的电压峰值:U R0 I 0R 16V电感两端的电压峰值: u L0 I 0 L 48V（4）电流与电压之间的相位差:arctanarcta n3.0 71°34'第一个线圈上的电压为：山 IZ 1 42V 第二个线圈上的电压为：U 2 IZ 2 75V13-9 将一个RC 并联电路接在电压峰值为 50 V 、角频率为1.0 103rad s 1的交流电源两端。

若 R = 100，C = 12F ,求：（1）电路的阻抗；（2）总电流的峰值；（3）通过电阻和电容器的电流的峰值；（4）总电流与电压之间的相位差，并说明总电流是超前还是落后；（5）画出矢量图。

（5）矢量图如图所示。

13-8 两线圈串联接于峰值为 100 V 的交流电压两端，如图 12-9所示。

若 R = 5.0 F 2 = 2.0 ， L 2 = 9.0 ，求电路中的电流、各线圈上的电压。

解：这两个线圈的复阻抗分别为: 阻抗分别为：乙 2L 1 5.1 L i = 1.0R 2 j L9.2Z 2电路上的总复阻抗为: L 1 L 2电路上的总阻抗则为:R 2 2212.2电路上的电流为：|100 12.28.2A解（1）电路的复阻抗为：Z - 1阻抗为：Z —R 2RC严64..1 1.44⑵电流的峰值为：I 0 步0.78A通过电阻的电流峰值为:IR0藝0.50A通过电容的器的电流峰值为:I 0 U 0 C 0.60A相位差为:arctan CR50012' 电流比电压超前 50 12。

13-10 若将RLC并联接在交变电压u = U cos t的两端，组成并联交流电路。

试用矢量图解法分析这个电路，并求：（1）电路的总阻抗；（2）总电流的峰值；（3）分别通过R L和C的电流峰值；（4）总电流与电压的相位差，并指出总电流是超前还是落后；（5）共振角频率。

解：RLC并联交流电路如图所示，矢量图解法表示于下图中。

⑶通过电阻的电流峰值为：I R U；R（4）总电流与电压的相位差为：1arcta nR C 负号表示电流超前电压的相位。

(1) 电路的总阻抗为:2'11CR2L总电流的峰值为: 1 R2通过电感的电流峰值为: I L通过电容的电流峰值为：I C U C（5）共振角频率为:13-11试阐明功率因数COS的物理涵义。

答：COS称为功率因数，表示有功功率在UI中所占比率。

P IU cos表示，交流电的有功功率等于电压和电流的有效值与功率因数三者的乘积。

在纯电阻电路中，cos 1 P IU表示电源提供给电路的有功功率为最大。

在纯电感或纯电容电路中,cos cos213-12 一个串联电路的电阻为50 ，电抗为70，当把它接于 220 V 的交流电压两端时，电路消耗的功率有多大？功率因数为多大？解：复阻抗可以写为：Z r jX 其中：r50 ,X 70，所以阻抗为：Zr 2 X 2 86功率因数为：cosr 0.58Z电路消耗的功率为：P U 2 IU coscos 23.3 10 WZ12-13 现有三个复阻抗 0乙、 ±和±，先将±、 ±并联，然后与 乙串联构成电路, 求该电路的复阻抗。

已知：乙 2 j3 、Z解 根据电路总复阻抗叠加的法则， 0 0 1 0Z乙乙左Z2 j3188 j304.76 j2.5668所以阻抗为：Z ZJz ± J4.762 2.562 5.4013-14将电阻R 和电感L 并联后接在交变电压 u t U 0COS t 的两端，组成交流电路，用复数法求解: （1）电路的复阻抗和阻抗；（2）电路的总电流最大值；（3）电路的功率因数；（4）消耗的功率。

解：（1 ）电路的复阻抗可由下式求得:25 j4 以及 ±3 j2电路的总复阻抗应为：±±2.3 5 j4 3 j2 ± ±j5 j4 3 j21(2)(3)(4)1 1T~L1 RT~R2电路的总电流最大值为:电路的功率因数：cos电路消耗的功率为:13-15有一电阻为R、自感为L、转，将该线圈置于磁感应强度为书籍线圈的匝数为N,求:R-叮；ZL R2U oZ~R"Z"1U0I0 cos2U o知。

u。

"R2R L1R21~22o2R面积为S的平面线圈，可绕在自身平面内的一条水平转轴以匀角速度B的匀强磁场中，磁场的方向与转轴相垂直，初始时刻线圈平面与(1)线圈导线内产生的电压和电流的峰值; 2)为使线圈旋转，外界必须施加的有功功率。

B垂直，解：(1)若线圈平面的法线与磁感应强度B的方向的交角为则线圈的总磁通量可以表示为:NBScos t线圈内产生的感应电动势为: -JdTNBS sin t Uosin t其中：U o NBS为电压的峰值，若将线圈看作电路，则这个电路是电阻R与自感L相串联的电路, 所以阻抗为：Z ■. R2因此，电流的峰值为：10UoZNBS■, R2 L 2(2)电路的复阻抗为: R j L 因此，功率因数为：cos使线圈旋转外界必须施加的有功功率为:解：因为:所以：L4 2〉4・99 102H13-17 串联共振电路的电容是 C = 320 pF ，在共振频率f = 640 kHz 时电路的有功电阻为 r = 20.0问电路的品质因数 Q 为多大？1解电路的品质因数为：Q38.9 Cr13-18 串联共振电路中 L = 120 mH ，C = 30.0 pF ，R = 10.0 ，求：(1)共振频率f o ; (2)电路的Q 值。

证：在串联磁路中的第i 段，根据磁路定律：Nl13-20证明并联磁路的磁阻R m m 满足下面的关系1 R m1 P U 0l 0cos2-NBS 2R 2NBS RL 2 ,R 2L 213-16已知串联共振电路的电容是240 pF ，共振频率是 460 kHz ， NBS 2 R 2 R 2求该共振电路的电感。

解：(1)共振频率为:1 2 、LC 48.39 10 Hz(2)电路的Q 值为：Q 1 CR6.33 10313-19证明串联磁路的磁阻R m m 满足下面的关系:13-21如图所示的电磁铁磁路可以在气隙获得较强的磁场。

已知铁芯的平均长度l i = 42 cm，气隙的3平均长度l 2 = 10 mm,铁芯是用相对磁导率r = 6.0 10的材料制成，磁路的磁通势IN = 5.03 10 Ao求气隙中磁场的磁感应强度B的大小。