2 2
N1 2 N1 2 + λ1 R Rl1 c λ = 2 N1 N 2 Rc
N1 N 2 i L Rc 11 1 2 2 = L N2 N i + 2 2 M Rc Rl 2
LM i1 ，即电感矩阵描叙。 很容易说明这 L22 i2
以上的电压电流关系的变压器为理想变压器。 实际中的变压器不可能有去穷大的磁导率，因而必须考虑励磁效应，从而得到非理想变压 器的模型。
此时， Rc > 0 ，电流关系修改成为 N1i1 + N 2 i2 = φ Rc ≠ 0 ，即电流关系出现了一个误差。当副
N1i1 N di di → V1 = 1 1 = Lµ 1 1 。其它线圈也可得到同样的结果。 方开路时候， i2 = 0 ， φ c = Rc Rc dt dt
N2
µ c 无关。这种情况下，能量基本存储在气隙之中。
Ni ( lg lc + ) ，它具有与电路理论中的 µ c Ac µ g Ag
φ =
1.2 重 新 回 顾 磁 通 的 计 算 ： 磁 阻 模 型
i=
V R1 + R2 的类似的形式。
定义： Ni 为磁势(Magneto-motive Force)
依赖于器件的几何尺寸，材料的性质以及匝数大小。由法拉第定律。 ，
d di =L dt dt
需要注意的几点： 1 电感的大小正比于匝数的平方。一些制造厂商会用 AL 参数定义铁心，其中， A L 为每一匝线圈对应的 nH 大小(或者 1000 匝对应的 mH 数)。因而，电感值的计算公式为：
L = A L× N 2 nH。
2 电感大小正比于导磁材料的磁导率。这是由材料性质决定的。由于磁导率会因为磁 场强度、 环境温度、 时间的变化而变化(非线性)，电感值也会因此而改变。 为了稳定电感 L 的大小，我们必须做点其它的工作，其中一种方法就是加入气隙。如下图：
考虑这个加入了气隙的铁心。
H c lc + H g l g = Ni B A = B A = φ φ lg g g φ lc c c ⇒ + = Ni µ c Ac µ g Ag H = Bc , H = B g c g µc µg
B = H ，其中， 为磁导率，是一个由材料性质决定的物理量 (单位 H/m)，真空的
磁导率µ0=4π×10H/m。 一般说来，磁通密度与磁场强度的关系都为非线性函数关系。 1.1 让我们考虑设计一个电感，如图。假设外圆半径远远大于环宽，导磁体的磁导率远远大 于真空磁导率，即rc>∆,µ 0。
结论：励磁电感 L 的存在反映了电感在工作时有能量存储在铁心的事实。 可以将励磁电感放在变压器的任何一边，只要按匝数比的平方折算正确即可。 磁化的铁心解释了为什么变压器不能工作在直流环境之中。因为直流感抗为零。
2
V1 = N1
φ 1 dφ 1 ⇒ φ = V1dt ，所以 Bc = = V1 dt ，因为我们要求 B < Bsat ，所以 ∫ dt N1 Ac N 1 Ac ∫
因为只有一条磁路存在，同名端的选取也是显而易见的。我们同样可以允许并联结 构的多绕组线圈。
同理利用无限小磁路阻抗的假设，得到
φ 1 + φ 2 + φ 3 = 0 λ 1 + N 1 V 1 + N1
2 λ N + λ 3 = 0 N 2 3 V V 2 + 3 = 0 N2 N3 N1 i 1 = N2 i 2 = N3 i 3
− LM V1 ， 因 而 对 于 实 际 系 统 ， 有 L11 V2
LM <
di L11 L22 。否则，如果 V2 = 0 的时候，我们施加一个正的 V1 ，就会发现 1 < 0 ，即 dt L11 L22 ，则两个线圈之间是完美耦 LM − 1 < k < 1。 L11 L22 ，其中
现在让我们考虑变压器，如下图
同名端惯例：流入同名端的电流具有相同的磁通方向。
V1 = V2 =
dλ 1 dφ = N1 dt dt ⇒ V = N 2 V 2 1 dλ 2 dφ N1 = N2 dt dt
电流关系
N i+ φ=1 2，如果 µ c → ∞ ,则 Rc → 0 ，又因为磁通必须为一个有限值，所以 N1i1 = − N 2 i2 。称满足 Rc
无穷多的能量可以从系统中获得。实际中如果 LM =
合的，没有任何的漏电感。故可以定义耦合系数
k=
★ 在理想情况下，考虑多绕组线圈变压器的模型
如果 Rc → 0 ，即不存在漏感成立的话，有
N1i1 + N 2 i2 + N 3i3 = φ Rc = 0
还有
dλ 1 dφ = N1 dt dt dλ 2 V1 V2 V3 dφ V2 = = N2 = = ⇒ dt dt N1 N 2 N 3 dλ 3 dφ V3 = = N3 dt dt V1 =
φ 为磁路中的磁通大小
R= lx µ x Ax 为磁路的磁阻，它反映的是磁路对磁通的阻碍程度。
以上原理对于多绕组线圈(多磁动势)以及并联支路同样适用。因此，它可以用来快速计算结
构较为复杂的磁路系统。 注意到电阻的计算形式为 R =
l l ，磁阻的形式为 µ A ，所以从另一个方面说明了 就 σA
是磁导率，即材料导磁的能力。 1．3 总结：磁路模型 将磁路模型与电路模型进行比较。
电路 电压 EMF 电流 电阻
磁路 磁势 MMF 磁通 磁阻
φ =
如上图所示，
Ni = Rc + Rg
Ni ( lg lc + ) 。求解端电压：每一匝的电动势为 µ c Ac µ g Ag
Vturn =
V=
dφ = N ， dt ，整个线圈的电动势就是总匝数的乘积，因而磁链可以定义为
−7
求解此电感的电感值的思路如下： (a) 求出磁场强度 H 大小 (b) 求出磁通 Φ 的大小 (c) 求出磁链大小 ，对于线性电感有 = Li ，这样便可以求解电感值大小。 具体求解的公式： (a) 安培定律：
∮ H⋅d l =∫ J ⋅d A
可以求解出 H 的大小，对于工程上的某些磁路，
我 们可 以简 化为 本质 上的 二维 平面 磁路 ，加 上前 面的 假设 ，此 处可 以简 化为
H⋅l c = N i 。
(b)
B= µH µ A Ni ⇒ φ = µ c Ac H = c c lc φ = bAc
(c) 磁链大小为： λ = Nφ =
µ c Ac N 2 i µ A N2 = Li ⇒ L = c c ，可以看出，电感值大小 lc lc
N2 ( lg lc + µ c Ac µ g Ag di di = L dt dt 。 )
dλ = dt
注意的地方包括： (a) 电感的大小与匝数的平方成正比关系，了解 A L 的电感标定方法。 (b) 为了准确可靠，我们必须要使 µ
c
> > µ 0 , lc > >
Ac , l g < <
Ac 成立
注意到：磁势的方向是由线圈的绕线方向决定的。 绕线端的电器特性是由磁链决定的，参考楞次定律。
∫Vdt=λNφ(+) ∫Vdt=λNφ(+)
1 l1 c 2 l2c
N1 2 N1 2 + V1 Rc Rl1 V = N1 N 2 2 Rc
对应的电路模型为
N1 N 2 d i1 L11 Rc dt = 2 2 L N2 N d + 2 i2 M Rc Rl 2 dt
可以看出，这些关系与串联结构的绕组不同；此时同名端方法不再是一种充分的 描述方法；考虑非理想因素的话，将会有 3 × 3 的矩阵描述。
★ 电感设计技巧 到目前为止，我们只涉及到分析电感。设计电感更加有挑战性，它更是一门艺术。 我们要明确设计中必须满足的种种限制条件，有很多方法可以使这些限制得到满 足。 1 给定一个几何形状已定的铁心，那么电感的大小与线圈绕组匝数的平方成正比。
选择 Ag , l g 要满足 l g < < 3
d LM dt i1 L22 d i2 dt
N1 N N , Lµ 1 = 1 , Ll 2 = 2 。 其中， Ll1 = Rl1 Rc Rl 2
值得注意的是，电感矩阵描述法包含 3 个参数(不包括匝数比)，而电路模型包括 4 个参数。 引入物理的匝数比后，我们可以唯一的确定一组电感参数值。 但是这并不重要，有无穷多个 电路模型可以满足电感矩阵描述的端口电气特性。
2
2
2
值得注意的是，在实际的磁路系统中，参数的选择要受到物理限制的。 对于 1 端口网络，为 了保证能量守恒，必须要求电感为正数。同样的道理，在双端口网络中，
V d i1 1 = L− 1 1 = 2 dt i2 V2 L11 L22 − LM
L22 − L M
c 所 以 ， φ ( µ A + µ A ) = Ni ， 故 c c g g
l
lg
λ = Nφ =
(
N 2i lg ， 因 而 ， 电 感 大 小 为 lc + ) µ c Ac µ g Ag
L=
λ = i
lg lc lg 。 µ = µ A = A ⇒ lc g 0 c g ， 如果 µ > > µ ，电感的大小基本与 ( + ) 因为 0 c µ c Ac µ g Ag
L=
N2 Rc + Rg