3.幂函数 1.幂函数定义：
只要满足n y x =的形式的函数我们就称为幂函数，其中x 称为底数，且为自变量；n 称为指数，为常量。
注：当0n =时，0x ≠。
【例】若函数()()
223m
f x m m x =--为幂函数，求实数m 的值
2.常见的幂函数图像规律
与其他函数只有一种图像不一样，幂函数根据n 不一样，有很多不同的类型。
常
见的n 有以下类型：1
1,2,3,1,,22
n =--
（1）. 1n = （2） 2n =
y x =2y x =
定义域： x R ∈定义域： x R ∈ 值域： y R ∈值域： [)0,y ∈+∞ 单调性 单调递增单调性： 单调递增
奇偶性 奇函数 奇偶性： 偶函数
对称性 关于原点对称 对称性 关于y 轴对称
（3）. 12n =
y = （4） 1n =-1y x
=
定义域： [)0,x ∈+∞定义域： ()(),00,x or ∈-∞+∞ 值域： [)0,y ∈+∞值域： ()(),00,y or ∈-∞+∞ 单调性 单调递增单调性：()(),00,x ∈-∞+∞减，减
奇偶性 非奇非偶函数 奇偶性： 奇函数 对称性 无对称性 对称性 关于原点对称
（5）. 3n =3y x = （6） 2n =-2y x -=
定义域： x R ∈定义域： ()(),00,x or ∈-∞+∞
值域： y R ∈值域： [)0,y ∈+∞
单调性 单调递增单调性：()(),00,x ∈-∞+∞增，减
奇偶性 奇函数 奇偶性： 偶函数 对称性 关于原点对称 对称性 关于y 轴对称
3.幂函数的公式
公式1
=公式2
=
公式3：()n
n
n
a b ab ⨯=公式4：n
n n a a b b ⎛⎫
÷= ⎪⎝⎭
4：常规图像及性质的讨论
()1.n y x =的指数n 如果满足：0n >，()()0,n y x x =∈+∞单调递增；
0n <，n y x =()()0,x ∈+∞单调递减；
()2.n y x =的指数n 如果满足：0n >，()()0,01,1n y x =图像过定点与
0n <，()0,0n y x =图像过只定点
()3.n
y x =的指数n 如果满足：1n >，()()0,1,1,+,n
n
x y x y x x y x y x ⎧∈==⎪⎨∈∞==⎪⎩图像在下方图像在上方
1n <，()()0,1,1,+,n
n
x y x y x x y x y x ⎧∈==⎪⎨∈∞==⎪⎩图像在上方图像在下方
()4.n y x =的指数n 如果满足：n 为奇，n y x =为奇函数；n 为偶，n y x =为偶函数
【例1】 如图的曲线是幂函数n
y x =在第一象限内的图象。
已知n 分别取1-，l ，1
2
，2四个值，与曲线1C 、2C 、3C 、4C 相应的n 依次为
A ．2，1，1
2
，1- B ．2，1-，1，
12 C ．
1
2
，1，2，1-
D ．1-，1，2，1
2
【例2】幂函数p y x =在()0,1x ∈时，图像始终在y x =上方，求p 的取值范围
【例3】如果函数()()
22
23
1m m f x m m x
--=--是幂函数，且在区间()0,x ∈+∞内是减函数，
求满足条件的实数m 的集合
规律总结：
1. 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1)
2. 如果a >0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数;
3. 如果a <0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数;
5：幂函数比较大小
注：（1）.幂函数比较大小要常用以上6幅图像的增减性来比较，要注意定义域
（2）:()0,0,;n
x n x >∈+∞单调递增；()0,,0;n
x n x >∈-∞单调递减；
【例1】比较以下数大小 ()113
3
111.23⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，()()()
1
1-
-
4
4
2.32，
1a <
【例2】若1122
(21)(32)a a +<-,求实数a 的取值范围？
【例3】若幂函数()1
m f x x
-=在(0，+∞)上是增函数，则以下正确的是( )
A ．m >1
B ．m <1
C ．m =l
D ．不能确定
【例4】如果函数()2
710
m
m f x x
-+-=是幂函数，且在区间()0,x ∈+∞内是增函数，求满足
()
()
3
3
132m m a a -
-
+<-的a 的取值范围
6：幂函数与奇偶性
幂函数多项式函数
多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
【例1】 已知函数)127()2()1()(2
2+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（ ）
A 1
B 2
C 3
D 4
110
()n n n n P x a x a x a --=+++
【例2】若)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数，则cx bx ax x g ++=23)(是（ ）
A 奇函数
B 偶函数
C 非奇非偶函数
D 既是奇函数又是偶函数
课后练习：
1．函数2
-=x y 在区间]2,2
1[上的最大值是
（ ）
A ．
4
1 B ．1- C ．4
D ．4-
2．下列所给出的函数中，是幂函数的是
（）
A ．3x y -=
B ．3-=x y
C ．32x y =
D ．13-=x y
3．函数3
4x y =的图象是
（）
4．下列命题中正确的是
（）
A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线
B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点
C ．若幂函数αx y =是奇函数，则α
x y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限
5．比较下列各组中两个值大小
（1）06072088089611611
5353
..(.)(.).与；（）与--
6．若a <0，则0.5a 、5a 、5
－a
的大小关系是( )
A ．5－
a <5a <0.5a
B ．5a <0.5a <5－
a
C ．0.5a <5－a <5a
D ．5a <5－
a <0.5a
7．设a ＝(35)25，b ＝(25)35，c ＝(25
)2
5，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a >c >b
B ．a >b >c
C ．c >a >b
D ．b >c >a
8．当0<a <b <1时，下列不等式正确的是( )
A ．(1－a )1
b >(1－a )b
B ．(1＋a )a >(1＋b )b
C ．(1－a )b >(1－a )b
2
D ．(1－a )a >(1－b )b。