幂函数（1）幂函数的定义： 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则qpy x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．幂函数练习题一、选择题：1．下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 （ ）A ．yx =43B ．y x =32C ．y x =-2D ．y x=-142．函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（ ）A ．41B ．1-C ．4D ．4-3．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）A ．3x y -=B ．3-=xy C ．32x y = D ．13-=x y 4．函数34x y =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．下列命题中正确的是 （ ） A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 6．函数3x y =和31x y =图象满足（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|，满足（ ）A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数8．如图1—9所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ）A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<αααα1α4α2αC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<<二、填空题：. 1．函数y x =-32的定义域是 .2．1()()f x f x -幂函数的图象过点（，则的解析式是.3．942--=a ax y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 .4．函数2422-+=x x y 的单调递减区间是 .三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 1．比较下列各组中两个值大小 （1）060720880896116115353..(.)(.).与；（）与--2．求证：幂函数3x y =在R 上为奇函数且为增函数.3．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系..6543212132323123---======x y x y x y x y x y x y ）；（）；（）（；）；（）；（）（（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ）巩固训练 一、选择题1．已知集合{}{}2,2,1==N M ，则N M 等于（ ） A ．{}2,1 B ．{}1 C ．{}2 D ．2 2．下列函数中，值域是()+∞,0的函数是（ ） A ．3x y = B ．4x y = C ．2-=x y D ．31-=xy3．函数11-=x y 的定义域是（ ） A ．()+∞,1 B ．[)+∞,1 C ．()1,∞- D ． ()()+∞∞-,11,4．二次函数12+-=x y 的单调递减区间是（ ）A ．(]0,∞-B ．[)+∞,1C ．(]1,-∞-D ．[)+∞,0 5．函数3)(x x f -=的图象（ ）A ．关于直线x y =对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于y 轴对称 6．幂函数)(Q n x y n∈=的图象一定经过点（ ）A ．()0,0B ．()1,1C ．()1,1--D ．()1,0 7．已知{}512,>-==x x A R I ，则A =（ ）A ．{}3≤x xB ．{}2-≥x xC ．{}32≤≤-x D ．{}32≤≤-x x 8．若一元二次不等式0122<--px x 的解集是{}q x x <<-2，则p 的值是（ ）A ．不能确定B ．4C ．－4D ．８ 10．函数)1(1≥--=x x y 的反函数是（ ） A ．)(12R x x y ∈+= B ．)0(12>+=x x yC ．)0(12≤+=x x y D ．)0(12≤+-=x x y11．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在[)+∞,0上单调递减，则（ ） A ．)10()()3(f f f <-<-π B ．)3()()10(-<-<f f f πC ．)10()3()(f f f <-<-πD ．)()3()10(π-<-<f f f 12．已知点()1,2+-b b a 与()b a 2,2+-关于直线x y =对称，则这两点之间的距离是（ ）A ．不能确定B ．314C ．213D ．21713．若不等式012<--kx kx 的解集是R ，则k 的取值围是（ ） A ．04<<-k B ．04≤<-k C ．4-<k 或0>k D ．4-<k 或0≥k14．已知)(x f 是奇函数，当0>x 时，其解析式1)(3++=x x x f ，则当0<x 时，)(x f 的解析式是（ ）A ．13-+x x B ．13---x x C ．13+-x x D ．13+--x x 二、填空题15．设函数)(x f 的定义域是{}10≤≤x x ，则)12(-x f 的定义域是___________ 18．已知幂函数)(x f 的图象经过()2,2 ，则)9(f =___________19．已知函数m x x f a+=)(的图象经过点()3,1 ，又其反函数图象经过点()2,10，则)(x f 的解析式为___________20．已知奇函数)(x f 在区间[]5,2上是减函数，且最小值为5-，则)(x f 在区间[]2,5--上的最大值是___________ 21．满足条件{}{}3,2,12,1⊆⊆M 的集合M的个数是___________个.22．函数x y --=11的反函数的值域是___________ 三、解答题23．已知{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=≤--=2,0822m m x x B x x x A ，若φ=B A ，求m 的取值围。

24．已知函数x xx f -=1)(。

⑴求函数)(x f 的定义域；⑵利用定义证明函数)(x f 在定义域上是减函数。

26．已知偶函数)(x f 在[)+∞,0上是增函数，求不等式)2()52(2+<+x f x f 的解集。

幂函数练习题一、选择题1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．13y x =B ． 12y x =C ．53y x = D. 23y x = 2．以下关于函数ay x =当a ＝0时的图象的说确的是( )A ．一条直线B ．一条射线C ．除点(0,1)以外的一条直线D ．以上皆错 3．已知幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (4)的值为( ) A ．16 B.116 C.12D ．2 4．下列结论中，正确的是( )①幂函数的图象不可能在第四象限②a ＝0时，幂函数y ＝ax 的图象过点(1,1)和(0,0) ③幂函数y ＝ax ，当a ≥0时是增函数④幂函数y ＝，ax 当a <0时，在第一象限，随x 的增大而减小 A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①④5．在函数y ＝2x 3，y ＝x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝x 0中，幂函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．幂函数f (x )＝ax 满足x ＞1时f (x )＞1，则α满足条件( )A ．α＞1B ．0＜α＜1C ．α＞0D ．α＞0且α≠1 7．幂函数y ＝(m 2＋m －5)xm 2－32m －13的图象分布在第一、二象限，则实数m 的值为( )A ．2或－3B ．2C ．－3D ．08．函数y ＝x n 在第一象限的图象如下图所示，已知：n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－129．若a <0，则0.5a 、5a 、5－a 的大小关系是( )A ．5－a <5a <0.5aB ．5a <0.5a <5－aC ．0.5a <5－a <5aD ．5a <5－a<0.5a10．在同一坐标系，函数y ＝x a(a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )二．填空题1．函数f (x )＝(1－x )0＋12(1)x -的定义域为________．2．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，那么这个幂函数的解析式为________． 3．若 1133(1)(22)a a +<-，则实数a 的取值围是________． 三、解答题1．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·21m m x +- ，m 为何值时，f (x )是(1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数．2.函数f (x )＝(m 2－m －5) 1m x -是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，试确定m 的值．幂函数练习题答案一． 选择题DCCDB ABBBC二．填空题 1. (－∞，1) 2. 12y x =3. (3，＋∞)三．解答题1. [解析] (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎨⎧ m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1＋132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1± 2.2.解：根据幂函数的定义得：m 2－m －5＝1， 解得m ＝3或m ＝－2，当m ＝3时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－2时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m ＝3.。