幂函数知识点归纳及题型总结
一、 幂函数定义：对于形如：()
x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数
定义说明：
1、 定义具有严格性，x α系数必须是1，底数必须是x
2、 α取值是R .
3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、½、-1五种情况
二、 幂函数的图像
幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x =
2）=1α时图像是一条直线.即()
x f x =
3）01α＜＜
时图像是横卧的抛物线.例如()1
2x f x
=
4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即()
0x f x =（0x ≠）
5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如()
-1
x f x =
具备规律:
①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称
③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像
三、幂函数的性质
幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。

1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数
幂为根式求解
2、 奇偶性要结合定义域来讨论
3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递
增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减
4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两
点；α≤0时，过（1,1）
5、 由
()0
x f x α=＞可知，图像不过第四象限
一、幂函数解析式的求法 1. 利用定义
（1）下列函数是幂函数的是 ______
①21()y x
-= ②22y x = ③21(1)y x -=+ ④0
y x = ⑤1y = （2
（3
2
3
1． （1）、函数3
x y =的图像是（ ）
（2）右图为幂函数y x α
=在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是 （
）
b
y x =c
()A a b c d >>> ()B b a d c >>> ()C a b d c >>>
()D a d c b >>>
2． 比较大小
（1） 单调性比较
比较12--）（与1
3--）
（的大小 比较311）（与31
1）（的大小
把
（2） C 3 C 4
(2)已知幂函数)()(*3
22
N m x x f m m
∈=--的图像关于y 轴对称，且在
），（∞+0上是减函数，求满足
3
3
)23(1m m a a -
-
-<+）（的a 的取值范围。

课后训练题：
1．下列幂函数为偶函数的是( )
A ．y ＝x 1
2 B ．y ＝3x C ．y ＝x 2 D ．y ＝x －
1
2．若a ＜0，则下列大小关系正确的是( )
A ．5－a ＜5a ＜0.5a
B ．5a ＜0.5a ＜5－
a
C ．0.5a ＜5－a ＜5a
D ．5a ＜5－
a ＜0.5a
3．设α∈{－1,1，1
2
，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数的所有α值为( )
A ．1,3
B ．－1,1
C ．－1,3
D ．－1,1,3 4．若四个幂函数y ＝a
x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d
x 在同一坐标系中的图象如图所示，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）.
A. d ＞c ＞b ＞a
B. a ＞b ＞c ＞d
C. d ＞c ＞a ＞b
D. a ＞b ＞d ＞c
5．函数y ＝(x ＋4)2的递减区间是( )
A ．(－∞，－4)
B ．(－4，＋∞)
C ．(4，＋∞)
D ．(－∞，4)
6．幂函数的图象过点(2，1
4
)，则它的单调递增区间是( )
A ．(0，＋∞)
B ．[0，＋∞)
C ．(－∞，0)
D ．(－∞，＋∞) 7．给出四个说法：
①当n ＝0时，y ＝x n 的图象是一个点； ②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)；
③幂函数的图象不可能出现在第四象限；X k b 1 . c o m ④幂函数y ＝x n 在第一象限为减函数，则n ＜0. 其中正确的说法个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
8．设α∈{－2，－1，－12，13，1
2
，1,2,3}，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α
的值的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．使(3－2x －x 2)－3
4有意义的
x 的取值范围是( )
A ．R
B ．x ≠1且x ≠3
C ．－3＜x ＜1
D ．x ＜－3或x ＞1
10．已知幂函数y ＝x m 2＋2m －3
(m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，求y 的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．。