无穷级数内容小结
1.数项级数：∑∞=1n n u ，称∑==n
i k n u s 1为前n 项部分和。

若存在常数 s,使n n s s ∞
→=lim ，则称级数收敛，s 为该级数的和；否则级数发散。

2.数项级数性质：1)∑∞
=1n n Cu =C ∑∞=1n n u ；2)若级数∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 收敛于σ,s ，则级数∑∞
=±1n n n v u 收敛于
σ±s ；3）级数中去掉，增加或改变有限项，敛散性不变；4）收敛级数任意加括号所得的级数仍收敛，且其和不变。

5）若级数∑∞=1n n u 收敛，必有0lim =∞
→n n u
3．两个重要级数：1）几何级数：∑∞
=-11n n aq = +++++-12n aq aq aq a (0≠a ) 若,1<q 级数收敛，其和为
q
a -1，若,1≥q 级数发散。

2）p 级数：∑∞=11n p n = +++++p p p n 131211（p>0） 若p>1,级数收敛；若1≤p ，级数发散；当p=1时，调和级数∑
∞=11n n 发散。

4．正项级数审敛法：对一切自然数n,都有0≥n u ，称级数∑∞
=1
n n u 为正项级数
方法：1）比较审敛法：设∑∞=1
n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数，且n n v u ≤（n=1,2,…）若级数∑∞
=1n n v 收敛，
则级数∑∞=1n n u 收敛；若级数∑∞=1n n u 发散，则∑∞
=1
n n v 发散。

2）比较审敛法的极限形式：若
l v u n n n =∞→lim )0(+∞<<l ，则∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散。

3）比值审敛法：若ρ=+∞→n n n u u 1lim ，则若p<1,级数收敛；若1>p )lim (1∞=+∞→n
n n u u 包括，级数发散；当p=1时， 级数可能收敛，也可能发散。

4根值审敛法：若ρ=∞
→n n n u lim ，则若p<1,级数收敛；若1>p )lim (∞=∞
→n n n u 包括，级数发散；当p=1时，级数可能收敛，也可能发散。

5.交错级数的莱布尼茨审敛法：设∑∞
=--11)1(n n n u 为交错级数，若1)对一切N 有n n u u ≤+1；2）
0lim =∞→n n u ，则级数∑∞
=--11)1(n n n u 收敛，且其和1u s ≤. 6.级数的绝对收敛和条件收敛：若∑∞=1n n u 收敛，则级数∑∞=1n n u 绝对收敛；若∑∞=1n n u 收敛，而∑∞=1
n n u 发
散，则级数∑∞
=1n n u 条件收敛。

7．幂级数n
n n x a ∑∞=0的收敛半径 收敛区间：对任意一个幂级数n n n x a ∑∞
=0，都存在一个R,,0+∞≤≤R 使对一切R x <都有级数n n n x a ∑∞
=0绝对收敛，而当R x >时级数发散。

称R 为该幂级数
的收敛半径，（-R,R ）为收敛区间。

当幂级数只在x=0一点收敛时，R=0;当对一切x 幂级数都收敛时+∞=R
8.收敛半径、区间的求法：对幂级数n n n x a ∑∞
=0，若ρ=+∞→n n n a a 1lim
，则当ρ为非零正数时，ρ1=R ;当
0=ρ时，+∞=R ；当+∞=ρ时，R=0
9.幂级数的性质：1）（和函数连续性）设幂级数的收敛半径为R(+∞≤<R 0),其和函数s(x)在(-R,R)
内连续。

若它在x=R(或-R)处收敛，则s(x)在][)),,(R R R
R --（或上连续。

2）（逐项积分）⎰=x
dt t s 0)(dt t a n x n n )(00⎰∑∞==dt t a n
n x n ∑⎰∞=00=101
+∞
=∑+n n n x n a ，且前后收敛半径相同 3）逐项可导：)(x s '=)(0'∑∞=n n n x a =)(0'∑∞
=n
n n x a =10-∞=∑n n n x na ，且前后收敛半径相同 10.函数的幂级数展开式：f(x)在点0x x =附近有任意阶导数，称幂级数
)(0x f +))((00x x x f -'+200)(!
2)(x x x f -''++ n n x x n x f )(!)(00)(- + 为0)(x x f 在点处的泰勒级数，并称!
)(0)(n x f a n n =（ ,2,1,0=n ）为0)(x x f 在点处的泰勒系数，特别地，当00=x 时，称幂级数
)0(f +x f )0('+2!
2)0(x f ''++ n n x n f !)0()( + 为)(x f 的马克劳林级数，并称!
)0()(n f a n n =为)(x f 的马克劳林系数。

11.常用函数幂级数展开式：
x
e =∑∞
=0!n n n x =1+ ++2!
21x x ， ),(+∞-∞∈x ； x sin =120)!
12()1(+∞=∑+-n n n
x n = +-3!31x x ， ),(+∞-∞∈x x cos =∑∞=-02)!2()1(n n n
n x = +-2!211x ， ),(+∞-∞∈x )1ln(x +=∑∞
=--11)1(n n n n x = -+-323
2x x x ， 11≤<-x ； x -11=∑∞=0
n n x = +++21x x ，11<<-x x +11=∑∞=-0
)1(n n n x = -+-21x x ，11<<-x α
)1(x +=n n x n n ∑∞=+--0!)1()1(ααα =1+ +-+2!2)
1(x x ααα，11<<-x
12.求函数幂级数展开式的方法：
1）直接展开法 求各阶导数，代入泰勒级数并检查泰勒余项)(0)(∞→→n x R n 的区间。

2）间接展开法 利用函数与已知幂级数展开式的函数之间关系及其在收敛区间的性质求得。

13.傅里叶级数：设)(x f 是以π2为周期的周期函数，由公式
⎰-=πππnxdx x f a n cos )(1
（),2,1,0 =n ⎰-=π
ππnxdx x f b n sin )(1
（),2,1 =n 所确定的系数称为)(x f 的傅里叶系数，称由上述傅里叶系数确定的级数
)sin cos (21
0nx b nx a a n n n ++∑∞=为)(x f 的傅里叶级数。

14.傅里叶级数的收敛定理：设)(x f 是以π2为周期的周期函数，若满足
1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；2）在一个周期内至多有有限个极值点，则)(x f 的傅里叶级数在),(+∞-∞收敛，且当)(x f x 是得连续点时，级数收敛于)(x f ；当)(x f x 是得间断点时，级数收敛于[])0()0(2
1++-x f x f 。

15.正弦级数：nx b n n sin 1∑∞= ，其中⎰=
π
π0sin )(1nxdx x f b n （),2,1 =n
余弦级数：nx a a n n cos 210∑∞=+，其中⎰=π
π0cos )(2nxdx x f a n （),2,1,0 =n。