如果
lim
n→∞
nun
=
l
>
0(或
lim
n→∞
nun
=
+∞)
,
∞
则级数 ∑un n=1
发散;
如果
p
>
1，而
lim
n→∞
n
pun
= l (0 ≤ l
< +∞) ,
∞
则级数 ∑un n=1
收敛.
常用级数
∑ 1) 几何级数
∞
aq n (a ≠ 0) ；当 q < 1 时 级数收敛于
a
当 q ≥ 1 时 级数发散
n=1
(1) un ≥ un+1(n = 1, 2, 3,...);
(2)
lim
n→∞
un
=
0
,
则级数收敛, 且其和 s ≤ u1 ，其余项 rn 的绝对值 rn ≤ un+1 .
2．绝对收敛与条件收敛
高等数学（赵）
-4-
高等数学阶段小结
第十二章 无穷级数
∞
∞
若级数 ∑|un | 收敛, 则称级数 ∑un 绝对收敛;
n=0
n=0
n=0
∞
∞
乘法: ( ∑anxn)⋅( ∑bnxn) = a0b0 + (a0b1 + a1b0 )x + (a0b2 + a1b1 + a2b0 )x2 + ...
n=0
n=0
+ (a0bn + a1bn−1 + ... + anb0 )xn + ...
∞
性质 1 幂级数 ∑anxn 的和函数 s(x) 在其收敛域 I 上连续. 如果幂级数在 x = R (或 x = −R )也收敛, 则 n=0
∞
∑ 定理(阿贝尔定理) 如果幂级数 an xn 当 x = x0 (x0 ≠ 0) 时收敛, 则适合不等式 x < x0 的一切 x 使这幂 n =1
∞
∑ 级数绝对收敛. 反之, 如果 an xn 当 x = x0 时发散, 则适合不等式 x < x0 的一切 x 使这幂级数发散. n =1
∞
推论 如果级数 ∑anxn 不是仅在点 x = 0 一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的 n=0
2!
n!
此级数称为 f (x) 的麦克劳林级数.
定理（函数展开成泰勒级数的充分必要条件） 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域U (x0 ) 内具有各阶导数, 则
f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项 Rn (x) 当 n → ∞ 时的极
限为零, 即
n=1
高等数学（赵）
-1-
高等数学阶段小结
第十二章 无穷级数
∞
∑un = u1+u2 +u3 + ⋅ ⋅ ⋅ +un + ⋅ ⋅ ⋅
n=1
n
∞
其中第 n 项 un 叫做级数的一般项. sn = ∑ui = u1+u2 +u3 + ⋅ ⋅ ⋅ +un 称为级数 ∑un 的部分和.
i=1
n=1
∞
∞
如果级数 ∑un 的部分和数列{sn}有极限 s ,
f
′′(x0) 2!
(x
−
x0)2
+
f
′′′(x0) 3!
(x
−
x0)3
+
⋅
⋅
⋅
+
f
(n)(x0) n!
(x
−
x0)n
+
⋅
⋅
⋅
这一幂级数称为函数 f (x) 在点 x0 的泰勒级数.
在泰勒级数中取 x0 = 0 , 得
f (0)+ f ′(0)x + f ′′(0) x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f (n)(0) xn + ⋅ ⋅ ⋅ ,
n=1
n=1
rn = s − sn = un+1 + un+2 + ...
∞
叫做级数 ∑un 的余项.
n=1
2．性质
∞
∞
性质 1 如果级数 ∑un 收敛于和 s , 则它的各项同乘以一个常数 k 所得的级数 ∑kun 也收敛, 且其和
n=1
n=1
为 ks .
∞
∞
∞
性质 2 如果级数 ∑un 、 ∑vn 分别收敛于和 s 、σ , 则级数 ∑(un ±vn) 也收敛, 且其和为 s ± σ .
敛半径 R = +∞ , 这时收敛域为 (−∞,+∞) .
定理（收敛半径的求法）
如果 lim | an+1 |= ρ , n→∞ an
其中 an
∞
an+1 是幂级数 ∑anxn 的相邻两项的系数, 则这幂 n=0
级数的收敛半径
2．幂级数的运算
⎧ +∞
R
=
⎪⎪ ⎨
⎪⎪⎩
1 ρ
0
ρ =0 ρ≠0 . ρ = +∞
n=1
n=1
∞
∞
∞
∞
若 ∑vn 收敛, 则 ∑un 收敛； 若 ∑un 发散, 则 ∑vn 发散.
n=1
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∑ ∑ 推论： 设 un 和 vn 都是正项级数, 且 un ≤ kvn (k > 0,∀n ≥ N ). 那么
n =1
n =1
∞
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ ∑ 若级数 vn 收敛，则级数 un 收敛； 反之, 若级数 un 发散, 则级数 vn 发散.
幂级数
∞
∑
an
xn
的收敛域是
(−
R,
R)(或[
−
R,
R
)
(−R, R]
[−R, R]之一).
n=0
∞
∞
规定: 若幂级数 ∑anxn 只在 x = 0 收敛, 则收敛半径 R = 0 ；若幂级数 ∑anxn 对一切 x 都收敛, 则收
n=0
n=0
高等数学（赵）
-5-
高等数学阶段小结
第十二章 无穷级数
(
x
<
R)
,
n=0
n=0
n=1
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.
3．函数展开成幂级数
1）泰勒级数
泰勒级数 如果 f (x) 在点 x0 的某邻域内具有各阶导数 f ′(x), f ′′(x, ) ,⋅…, f (n) (x) , ⋅ ⋅ ⋅ 则
f (x0)+ f ′(x0)(x− x0)+
和函数 s(x) 在 (− R, R](或 [− R, R))连续.
∞
性质 2 幂级数 ∑anxn 的和函数 s(x) 在其收敛域 I 上可积, 并且有逐项积分公式 n=0
∫0x s(x)dx
=
∫0x
∞
( ∑ an
n=0
xn)dx
=
∑∫∞ x
n=0 0
an
xndx
=
∞
∑
n=0
an n +1
xn+1
(x ∈
n=1
n=1
n=1
性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性.
∞
性质.4 如果级数 ∑un 收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.
n=1
∞
性质 5
如果 ∑un 收敛,
n=1
则它的一般项 un 趋于零,
即 nli→m0un =0 （级数收敛的必要条件）
n=1
即
lim
n→∞
sn
=
s
,
则称无穷级数 ∑un 收敛,
n=1
极限 s 叫做这级
∞
数的和, 并写成 s = ∑un = u1+u2 +u3 + ⋅ ⋅ ⋅ +un + ⋅ ⋅ ⋅
n=1
∞
如果{sn} 没有极限, 则称无穷级数 ∑un 发散.
n=1
∞
∞
当级数 ∑un 收敛时, 其部分和 sn 是级数 ∑un 的和 s 的近似值, 它们之间的差值
10．掌握 e x ，sin x ，cos x ，ln(1 + x) 和 (1 + x)m 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间
接展开成幂级数。 11．了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[l，l]上的函数展
开为傅里叶级数，会将定义在［0，l］上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表 达式。
∞
定理.5(根植审敛法，柯西判别法)* 设 ∑un 为正项级数, 如果
n=1
高等数学（赵）
-3-
高等数学阶段小结
第十二章 无穷级数
lim n
n→∞
un
=
ρ
,
则当 ρ < 1 时级数收敛;
当ρ >1
(或
lim
n→∞
n
un
=
+∞
)时级数发散;
当 ρ = 1 时级数可能收敛也可能发
散.
∞
定理.6（极限审敛法） 设 ∑un 为正项级数, 那么 n=1
n =1
n =1
n =1
n =1
∞
∞
∑ ∑ 定理 3(比较审敛法的极限形式) 设 un 和 vn 都是正项级数, 那么