无穷级数总结一、概念与性质1. 定义：对数列 u 1,u 2,L ,u n L ， u n 称为无穷级数， u n 称为一般项；若部分和 n1数列｛&｝有极限S ，即limS n S ，称级数收敛，否则称为发散.n2. 性质① 设常数 c 0 ，则 u n 与 cu n 有相同的敛散性；n1n1② 设有两个级数 u n 与 v n ，若 u n s ，v n，则 (u n v n ) s ；n1n1n1n1n1若 u n 收敛，v n 发散，则 (u n v n ) 发散；n1n1n1若 u n ，v n 均发散，则(u n v n ) 敛散性不确定；n1n1n1③ 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④ 设级数 u n 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．n1注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定. ⑤ 级数 u n 收敛的必要条件： lim u n 0 ；n1n注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；③若 u n 发散，则 lim u n 0 未必成立． n1 n 二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法① 定义：若 u n 0 ，则 u n 称为正项级数 .n1② 审敛法：i ) 充要条件：正项级数 u n 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界②若 lim u n0 ，则 u n 未必收敛；n1(ii ) 比较审敛法：设U n①与V n②都是正项级数，且U n %(n 1,2丄)，则若②n 1 n 1收敛则①收敛；若①发散则②发散•A.若②收敛，且存在自然数N，使得当n N时有u n kv n(k 0)成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数N，使得当n N时有u n kv n(k 0)成立，则①发散；1B.设U n为正项级数，若有p 1使得u n—p (n 1,2丄)，贝U U n收敛；若n 1 n n 11U n (n 1,2,L )，贝U U n 发散•n n 1C.极限形式：设U n①与v n②都是正项级数，若lim l(0 l )，则n 1 n 1 n V nU n与V n有相同的敛散性n 1 n 1注：常用的比较级数：a①几何级数：ar n1 1 r r 1n 1 发散r| 1②p级数：［收敛P 1时.n 1 np发冃攵P 1时，③调和级数：丄1 1 1发散.n 1 n 2 n(iii )比值判别法(达郎贝尔判别法)设a n是正项级数，若n 1①lim也r 1，则a n收敛；②lim也r 1，则a.发散.n a n n 1 n a n n 1注：若lim 也1，或lim ：恳1,推不出级数的敛散.例1与2，虽然佃乩1，nan n n 1 n n 1n n a.lim n a n 1，但丄发散，而 $收敛•n' n 1 n n 1 na n是正项级数，lim , a n ，若1，级数收敛,n(iv )根值判别法(柯西判别法)设若 1则级数发散.(v )极限审敛法：设U n 0，且lim n p u n l ，则①lim n p u n l 0且p 1，则级数u n 发nnn 1散；②如果p 1，而limn%. 1(0 l ),则其收敛.(书上P317-2- n(1))注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法•正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件. 2. 交错级数及其审敛法①定义：设U n 0(n 1,2丄)，则 (1)n 1U n 称为交错级数•n 1②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数 (1)n1U n ，若U nn 1收敛.注：比较u n 与u n 1的大小的方法有三种: ① 比值法，即考察是否小于1；u n② 差值法，即考察u n u n 1是否大于0； ③由u n 找出一个连续可导函数f(x)，使u n f(n),(n 1,2,)考察f (x)是否小于0.3. 一般项级数的判别法： ①若u n 绝对收敛，则 u n 收敛.n 1n 1②若用比值法或根值法判定 |u n I 发散，则 u n 必发散.n 1n 1三、幕级数 1. 定义： a n x n称为幕级数•n 02. 收敛性① 阿贝尔定理：设幕级数 a n x n在X 。
0处收敛，则其在满足 x | |x 。
的所有x 处绝n 0对收敛.反之，若幕级数 a n X n 在X 1处发散，则其在满足x | |X 1的所有x 处发散. n 0 ② 收敛半径(i )定义：若幕级数在x X 0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数u n 1 且 limu0，则(1)n1u nn 1R ，使得①当XX 。
R 时，幕级数收敛；②当 XX 。
R 时，幕级数发 散；R 称为幕级数的收敛半径.(ii)求法：设幕级数 a n X n的收敛半径为R ，其系数满足条件n 0limnan 1a nl ，或nlimM a n | 1，则当0 l 时，R1；当l 0时，R当l 时，R 0 .注：求收敛半径的方法却有很大的差异.前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项(有 时会出现更复杂的情况)分别来求.在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不 能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法.(iii )收敛半径的类型 A. R 0，此时收敛域仅为一点； B. R ，此时收敛域为(，)；C. R =S 定常数，此时收敛域为一个有限区间. 3. 幕级数的运算(略) 4. 幕级数的性质开成为泰勒级数的充要条件为lim R n (X) 0, X I .n①若幕级数的收敛半径 R 0，则和函数S(x)a n X n在收敛区间(R, R)内连续.n 0②若幕级数的收敛半径 R 0，则和函数S(X )a n X n在收敛区间(n 0R, R)内可导，且可逐项求导，即 S (X ) ( a n X n )n 0(a n X n)n 0na n X n 1，收敛半径不变.n 1③若幕级数的收敛半径 R 0，则和函数S(X )a n X n在收敛区间(n 0R, R)内可积，且可逐项x积分，即0S(t)dta n t n)dtxa n t ndt(x n(R, R))，收敛半径不变.5. 函数展开成幕级数 ①若f(x)在含有点X 0的某个区间I 内有任意阶导数,f (X)在X 0点的n 阶泰勒公式为 f (x) f(x °) f (x °)(x x °) f (n 1}() (x X 0)(n 1，记 R n (x) f (X 0), 、2 —(x x 0) 2! ：(n 1)()(n 1)! f (n)(X 0)(—(x n!(x X 0)(n °，介于 X 。
) X,X 0之间，则f (x)在I 内能展②初等函数的泰勒级数(X 。
0)(vi )亠1 x6. 级数求和①幕级数求和函数解题程序(i )求出给定级数的收敛域；(ii )通过逐项积分或微分将给定的幕级数化为常见函数展开式的形式(或易看出其假设和函数s(x)与其导数s(x)的关系)，从而得到新级数的和函数；注：系数为若干项代数和的幕级数，求和函数时应先将级数写成各个幕级数的代数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数. ②数项级数求和nS n U 1 U 2 U nU k .根据S n 的求法又可分为：直接法、拆项法、递推法.k 1A. 直接法：适用于 U k 为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；k 1B. 拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求 n 项和时，除首尾两项外其余各项对消掉.分或积分求得和函数S(x).因此 a nlim s(x).X 1四、傅里叶级数(i ) e xn 0nx，X((ii ) sin x (iii ) cosx (iv ) ln(1 x)n 1 2n 1 (1) x,x n 1(2n1)!n 2n(4,x (2n)! (1)n x n1(v ) (1 x),xo n 1(1)丄 n!1,1] n 1)x n,x ( 1,1), ( R)；(i )禾【」用级数和的定义求和，即 lim S n ns，贝UU n s ，其中n 1(ii )阿贝尔法(构造幕级数法)an 0lim a n X n ，其中幕级数a n X n，可通过逐项微n 0 n 01.定义①定义1：设f(x)是以2为周期的函数，且在［,］或［0,2 ］上可积，则f (x) cosnxdx, (n 0,1, 2 ),b n - f (x)sin nxdx, (n 1, 2 )为系数的三角级数l l l 】a 0(a n cosnx b nsin nx)称为f(x)的傅立叶级数，表示为2n 1l l(a n cosnx b nsin — x). n 1 l l2.收敛定理(狄里赫莱的充分条件)设函数 f(x)在区间［,］上满足条件①除有限个第一类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点,f (x), x是 f (x)的连续点； 12【f(x 0 0) f(x 。
0)],x 0是f (x)的第一类间断点； 1 2【f(0) f( 0)], x3.函数展开成傅氏级数 ①周期函数b nf (x)sinnxdxf (x)sin nxdx,(n 1,2,),称为函数f(x)的傅立叶系数.②定义2：以f(x)的傅立叶系数为系数的三角级数那0(a n cosnx b n sin nx).n 1称为函数f (x)的傅立叶级数，表示为f(x)〜1 a 0(a n cosnx b n sin nx).n 1③定义3:设f(x)是以21为周期的函数，且在［1,1］上可积，则以a nf (x) cos xdx, (n 0,1, 2 )，则f(x)的傅立叶级数在［］上收敛，且有 f (x) cos nxdx f(x)〜1a 0(a n cosnx b n sinnx)(i )以2为周期的函数f(x) : f(x)〜西2a n cosnxb n sin nx n 1f(x)〜 b n s inn x (正弦级数)，a n 0 (n 0,1,2,)n 12a .— 0f (x)cos nxdx (n 0,1, 2,为奇函数，f(x)〜 b n sin nx (正弦级数)n 1a nf (x) cosnxdx(n 0,1,2, ) , b nf (x) sin nxdx(n 1,2,)；b n— o f (x)sinnxdx(n 1,2,②若f(x)为偶函数，则f(x)〜罟a n cosnx (余弦级数)，n 1B. f(x)为［0,l ］上的非周期函数，则令F(x) f(x), 0 f( x), x x 0，则 F(x)除 x 0外在［,］上 为奇函数，f(x 〜 b n sin nx (正弦级数)，b n - n 1 11I n0f (x)sin T xdx(n 1,2,). (ii )偶延拓:A. f(x)为［0,］上的非周期函数，令F(x) f(x), 0 x， f ( x), x 0 则F(x)除x 0外在［,］上为偶函数，f(x)〜詈 a n cosnx (余弦级 n 1 数)，a n — 0 f (x)cos nxdx (n 0,1, 2,). B f(x)为［。