学习报告一
——对三个常用坐标系单位矢量的认识
作者：英才实验学院09级四班 甘骏 2900104007
Abstract
This article is supposed to give a antinomy to show how diffrerent the three coordinate systems are.And it will tell the reason.At last there is another antinomy. 【关键字】 悖论
直角，圆柱，球坐标系 【引言】
例题：将位于球坐标系下的P 点（1，30°，90°）处的矢量A=e θ,先在直
角坐标系下表示出其表达式，然后再将所得到的表达式，重新表达成球坐标系下表出。

解：A=e θ= e x cos θcos Ф+e y cos θsin Ф+e z (-sin Ф) =e x ·0+e y ·√3
2+e z(-1
2)
=√3
2e y -1
2e z ⑴
重新表示成球坐标公式有： A =
√32e y -12
e
z =√32（e r sin θsin Ф+e θ+e y cos θsin Ф+e Фcos Ф）-12
(e r cos θ-e θsin θ)
=√32（e r 12+e θ+e y √32+e Ф0）-12(e r √32-e θ1
2) = e θ
⑵
将⑴式结果表示在直角坐标系中，会出现一个怪异的结果： A= e θ=e r
这显然是一个悖论，但是又是合理的。

本文将对此进行分析。

【正文】
在⑴式推导过程中，运用了向量的运算。

由于向量的可平移特性，在进行运算过程中，实际上对向量A 进行了平移变换，将其起点平移到了坐标原点，而不是之前的P 点。

所以最终得到的结果是e r 。

从得到这个悖论的推导过程，可看出直角坐标系和球坐标系的特点及联系，
直角坐标系：
直角坐标系是生产生活中应用最广泛的坐标系，因为在直角坐标系下，得到的数学表达式最直观，最符合人类的经验认识。

但是真正的科学研究及实际工程中，可建立的标准直角坐标系是非常少的。

即直角坐标系可作为人们最方便理解认识某一问题的工具，而不是好的解决问题的工具。

柱坐标系与球坐标系：
这两类坐标系是在科学工程中常用到的。

因为它们更接近于工程模型，可以简化计算表达式。

与直角坐标系的联系是都是有3个两两垂直的向量作为基，构成向量空间。

但是这两类坐标系不直观。

因为用eФ和eθ表示的向量随着取点不同，方向和大小在不断改变。

deθr=rdeθ+eθdr和deФr=rdeФ+eФdr
可知，这两个基向量实际上由两个表达式确定，在应用过程中可能因已知条件不足产生同一个向量不同表达的悖论。

将引言中的向量A 用柱坐标系表示，可得：
A=e θ= e r cos θ+e Ф0+e z (-sin Ф)
=√3
2e r -1
2e z ⑶ 比较⑶和⑴可得到e r =e y 。

由于e z =e z .三个基本向量两两垂直。

可确定第三个向量相等或者反向。

则直角坐标系与柱坐标系等价。

这显然是一个悖论。

实际上，此结论只在Ф=90°时成立。

随着Ф不断变化，柱坐标中的基向量
e r 和 e Ф的方向不断变化，不像直角坐标系固定，即e r =e y 不恒成立。

【参考资料】
《工科数学分析基础》 马知恩 王锦森主编 高等教育出版社 《电磁场与电磁波》 谢处方 饶克谨编 高等教育出版社。