江苏省镇江市2019年中考试卷数 学（满分：120分 考试时间：120分钟）一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 1.2019-的相反数是 . 2.27的立方根为 .3.一组数据4，3，x ，1，5的众数是5，则x = .4.x 的取值范围是 .5.氢原子的半径约为0.000 000 000 05 m ，用科学记数法把0.000 000 000 05表示为 .6.已知点()12A y -，、()21B y -，都在反比例函数2y x=-的图象上，则1y 2y .（填“＞”或“＜”） 7.= .8.如图，直线a b ∥，ABC △的顶点C 在直线b 上，边AB 与直线b 相交于点D .若BCD △是等边三角形，20A ∠=︒，则1∠= .（第8题）（第10题）9.若关于x 的方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值等于 . 10.将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图），使得点D 落在对角线CF 上，EF 与AD 相交于点H ，则HD = .11.如图，有两个转盘A 、B ，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A 、B ，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字1的扇形区域内”的概率是19，则转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数是 .12.已知抛物线()24410y ax ax a a =+++≠过点()3A m ，，()3B n ，两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式21a a ++的最小值是 .二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共计15分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 13.下列计算正确的是 （ ）A.236•a a a =B.734a a a ÷=C.()538a a ＝D.()22ab ab ＝14.一个物体如图所示，它的俯视图是（ ）ABCD15.如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC CB =.若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于 （ ）A.55︒B.60︒C.65︒D.70︒16.下列各数轴上表示的x 的取值范围可以是不等式组()22160x aa x +⎧⎨--⎩＞＜的解集的是（ ）-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________AB CD17.如图，菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上（B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，对角线BD的长是2103，点()20E -，为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动.当点()06F ，到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于 （ ）A.103 B.10 C.163D.3三、解答题（本大题共有11小题，共计81分.解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 18.（本小题满分8分）（1）计算：11(22)2cos603-⎛⎫-+-︒ ⎪⎝⎭；（2）化简：21111x x x ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭.18.（本小题满分10分）（1）解方程：23122x x x =+--； （2）解不等式：14(1)2x x --<.19.（本小题满分6分）如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 、F 分别在AD 、BC 上，=AE CF ，过点A 、C 分别作EF 的垂线，垂足为G 、H . （1）求证：AGE CHF △≌△；（2）连接AC ，线段GH 与AC 是否互相平分？请说明理由.21.（本小题满分6分）小丽和小明将在下周的星期一到星期三这三天中各自任选一天担任值日工作，请用画树状图或列表格的方法，求小丽和小明在同一天值日的概率.22.（本小题满分6分）如图，在ABC △中，=AB AC ，过AC 延长线上的点O 作OD AO ⊥，交BC 的延长线于点D ，以O 为圆心，OD 长为半径的圆过点B . （1）求证：直线AB 与O 相切（2）若=5AB ，O 的半径为12，则tan BDO ∠= .23.（本小题满分6分）如图，点2A n （，）和点D 是反比例函数(0,0)my m x x=＞＞图象上的两点，一次函数30y kx k =+≠（）的图象经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ，连接OA ，OD .已知OAB △与ODE △的面积满足34OAB ODE S S =△△：：.（1）OAB S =△ ，m = ；（2）已知点60P （，）在线段OE 上，当PDE CBO ∠=∠时，求点D 的坐标.24.（本小题满分6分）在三角形纸片ABC （如图1）中，78BAC ∠=︒，10AC =.小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）. （1）ABC ∠= ︒；（2）求正五边形GHMNC 的边GC 的长.参考值：sin780.98︒≈，cos780.21︒=，tan78 4.7︒≈.图1图225.（本小题满分6分）陈老师对他所教的九（1）、九（2）两个班级的学生进行了一次检测，批阅后对最后一道试题的得分情况进行了归类统计（各类别的得分如下表），并绘制了如图所示的每班各类别得分人数的条形统计图（不完整）.各类别的得分表得分 类别0 A ：没有作答 1 B ：解答但没有正确 3 C ：只得到一个正确答案6D ：得到两个正确答案，解答完全正确已知两个班一共有50%的学生得到两个正确答案，解答完全正确，九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分.请解决如下问题： （1）九（2）班学生得分的中位数是 ；（2）九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是多少？26.（本小题满分6分）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的O ）.人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直.站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的. 【实际应用】观测点A 在图1所示的O 上，现在利用这个工具尺在点A 处测得α为31︒，在点A 所在子午线往北的另一个观测点B ，用同样的工具尺测得α为67︒.PQ 是O 的直径，PQ ON ⊥. （1）求POB ∠的度数；（2）已知6400OP km =，求这两个观测点之间的距离即O 上AB 的长.（π取3.1）毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------图1图227.（本小题满分10分）如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B .（1）点D 的坐标是 ；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n .过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P 、Q ，使得DPQ △与DAB △相似.①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ △与DAB △相似，请直接写出n 的取值范围 .28.（本小题满分11分）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动.在相距150个单位长度的直线跑道AB 上，机器人甲从端点A 出发，匀速往返于端点A 、B 之间，机器人乙同时从端点B 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B 、A 之间.他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计.兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种. 【观察】①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为 个单位长度；②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为 个单位长度；图1图2【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为y 个单位长度.兴趣小组成员发现了y 与x 的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP ，不包括点O ，如图2所示）. ①a = ；②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象； 【拓展】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为y 个单位长度.若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离y 不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离x 的取值范围是 .（直接写出结果）江苏省镇江市2019年中考试卷数学答案解析一、填空题 1.【答案】2019【解析】直接利用相反数的定义进而得出答案. 解：2019-的相反数是：2019. 故答案为：2019. 【考点】相反数 2.【答案】3【解析】找到立方等于27的数即可. 解：3327=，27∴的立方根是3，故答案为：3. 【考点】立方根 3.【答案】5【解析】解：数据4，3，x ，1，5的众数是5，5x ∴=，故答案为：5. 【考点】众数 4.【答案】4x ≥【解析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可. 解：由题意得40x -≥， 解得4x ≥. 故答案为：4x≥.【考点】二次根式有意义的条件5.【答案】11510⨯﹣【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为-10na ⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.解：用科学记数法把0.000 000 000 05表示为11510⨯﹣. 故答案为：11510⨯﹣.【考点】用科学记数法表示较小的数6.【答案】＜【解析】反比例函数2y x=-的图象在第二象限，在第二象限内，y 随x 的增大而增大，根据x 的值大小，得出y 值大小. 解：反比例函数2y x=-的图象在二、四象限，而()12A y -，、()21B y -，都在第二象限，∴在第二象限内，y 随x 的增大而增大，21--＜，12y y ∴＜.故答案为：＜【考点】反比例函数图像上点的坐标特征 7.=，再合并同类二次根式即可. =【考点】二次根式的加减法 8.【答案】40【解析】根据等边三角形的性质得到60BDC ∠=︒，根据平行线的性质求出2∠，根据三角形的外角性质计算，得到答案. 解：BCD △是等边三角形，60BDC ∴∠=︒，a b ∥，260BDC ∴∠=∠=︒，由三角形的外角性质可知，1240A ∠=∠-∠=︒， 故答案为：40.【考点】等边三角形的性质，平行线的性质 9.【答案】1【解析】利用判别式的意义得到()2240m -∆=-=，然后解关于m 的方程即可. 解：根据题意得()2240m -∆=-=， 解得1m =. 故答案为1.【考点】一元二次方根的判别式 10.1【解析】先根据正方形的性质得到1CD =，90CDA ∠=︒，再利用旋转的性质得CF 根据正方形的性质得45CFDE ∠=︒，则可判断DFH △为等腰直角三角形，从而计算CF CD -即可.解：四边形ABCD 为正方形，1CD ∴=，90CDA ∠=︒，边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置，使得点D 落在对角线CF 上，CF ∴=45CFDE ∠=︒，DFH ∴△为等腰直角三角形，1DH DF CF CD ∴==-=.1.【考点】旋转的性质以及正方形的性质 11.【答案】80【解析】先根据题意求出转盘B 中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率，再根据圆周角等于360︒计算即可.解：设转盘B 中指针落在标有数字1的扇形区域内的概率为x ，根据题意得：1129x =，解得29x =， ∴转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数为：2360809︒⨯=︒.故答案为：80. 【考点】事件的概率12.【答案】74【解析】根据题意得413a +≥，解不等式求得12a ≥，把12x =代入代数式即可求得.解：抛物线24410y ax ax a a =+++≠（）过点3A m （，），3B n （，）两点， 4222m n a a+∴=-=-.线段AB 的长不大于4，413a ∴+≥. 12a ∴≥.21a a ∴++的最小值为：21171224⎛⎫++= ⎪⎝⎭；故答案为74.【考点】二次函数的性质 二、选择题 13.【答案】B【解析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案.解：A.235a a a ＝，故此选项错误； B.734a a a ÷＝，正确；C.3515a a （）＝，故此选项错误； D.222ab a b （）＝，故此选项错误；故选：B.【考点】同底数幂的乘除运算，积的乘方运算，幂的乘方运算14.【答案】D【解析】从图形的上方观察即可求解； 解：俯视图从图形上方观察即可得到：，故选：D.【考点】几何体的三视图 15.【答案】A【解析】连接AC ，根据圆内接四边形的性质求出DAB ∠，根据圆周角定理求出ACB ∠、CAB ∠，计算即可.解：连接AC ，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，18070DAB C ∴∠=︒-∠=︒，DC CB =，1352CAB DAB ∴∠=∠=︒，AB 是直径，90ACB ∴∠=︒，9055ABC CAB ∴∠=︒-∠=︒，故选：A.【考点】圆内接四边形的性质，圆周角定理 16.【答案】B【解析】由数轴上解集左端点得出a 的值，代入第二个不等式，解之求出x 的另外一个范围，结合数轴即可判断. 解：由2x a +＞得2x a -＞，A.由数轴知3x -＞，则1a =-，360x ∴--＜，解得2x -＞，与数轴不符；B.由数轴知0x ＞，则2a =，360x ∴-＜，解得2x ＜，与数轴相符合；C.由数轴知2x ＞，则4a =，760x ∴-＜，解得67x ＜，与数轴不符；D.由数轴知2x -＞，则0a =，60x ∴--＜，解得6x -＞，与数轴不符； 故选：B.【考点】一元一次不等式组 17.【答案】A【解析】如图1中，当点P 是AB 的中点时，作FG PE ⊥于G ，连接EF .首先说明点G 与点F 重合时，FG 的值最大，如图2中，当点G 与点E 重合时，连接AC 交BD 于H ，PE 交BD 于J .设2BC a =.利用相似三角形的性质构建方程求解即可. 解：如图1中，当点P 是AB 的中点时，作FG PE ⊥于G ，连接EF .()20E -，，()06F ，2OE ∴=，6OF =，EF ∴==，90FGE ∠=︒，FG EF ∴≤.∴当点G 与E 重合时，FG 的值最大.如图2中，当点G 与点E 重合时，连接AC 交BD 于H ，PE 交BD 于J .设2BC a =.PA PB =，BE EC a ==，PE AC ∴∥，BJ JH =.四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，BH DH ==BJ =，PE BD ∴⊥.90BJE EOF PEF ∠=∠=∠=︒， EBJ FEO ∴∠=∠，BJE EOF ∴△∽△，BE BJEF∴=， 62=，53a ∴=，1023BC a ∴==，故选：A .【考点】菱形的性质，直角三角形三边的关系，相似三角形的判定和性质 三、解答题18.【答案】解：（1）原式1132=32=+-⨯（2）21111x x x ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭ 211111x x x x x -⎛⎫=+÷ ⎪---⎝⎭ (1)(1)1x x x x x+-=-1x =+【解析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算； （2）根据分式的混合运算法则计算. 【考点】实数的混合运算，分式的混合运算 19.【答案】解：（1）方程两边同乘以2x -（）得 232x x =+- 1x ∴=检验：将1x =代入2x -（）得1210-=-≠ 1x =是原方程的解.∴原方程的解是1x =.（2）化简14(1)2x x --<得 1442x x --< 932x ∴<32x ∴<∴原不等式的解集为32x <. 【解析】（1）方程两边同乘以2x -（）化成整式方程求解，注意检验； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1来解即可. 【考点】分式方程和一元一次不等式的解法20.【答案】解：（1）证明：AG EF ⊥，CH EF ⊥，90G H ∴∠=∠=︒，AG CH ∥，AD BC ∥，DEF BFE ∴∠=∠，AEG DEF ∠=∠，CFH BFE ∠=∠， AEG CFH ∴∠=∠，在AGE △和CHF △中，H AEG CFH AE CF G ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGE CHF AAS ∴△≌△；（2）解：线段GH 与AC 互相平分，理由如下： 连接AH 、CG ，如图所示： 由（1）得：AGE CHF △≌△，AG CH ∴=， AG CH ∥，∴四边形AHCG 是平行四边形，∴线段GH 与AC 互相平分.【解析】（1）由垂线的性质得出90G H ∠=∠=︒，AG CH ∥，由平行线的性质和对顶角相等得出AEG CFH ∠=∠，由AAS 即可得出AGE CHF △≌△；（2）连接AH 、CG ，由全等三角形的性质得出AG CH =，证出四边形AHCG 是平行四边形，即可得出结论.【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质 21.【答案】解：解：根据题意画树状图如下：共有9种等情况数，其中小丽和小明在同一天值日的有3种，则小丽和小明在同一天值日的概率是3193=.【解析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和小丽和小明在同一天值日的情况数，然后根据概率公式即可得出答案.【考点】用列表或画树状图法求事件的概率 22.【答案】解：（1）证明：连接AB ，如图所示：AB AC =， ABC ACB ∴∠=∠， ACB OCD ∠=∠， ABC OCD ∴∠=∠， OD AO ⊥， 90COD ∴∠=︒， 90D OCD ∴∠+∠=︒， OB OD =， OBD D ∴∠=∠， 90OBD ABC ∴∠+∠=︒，即90ABO ∠=︒，AB OB ∴⊥，点B 在圆O 上，∴直线AB 与O 相切；（2）23【解析】（1）连接OB ，由等腰三角形的性质得出ABC ACB ∠=∠，OBD D ∠=∠，证出90OBD ABC ∠+∠=︒，得出AB OB ⊥，即可得出结论；（2）由勾股定理得出13OA ==，得出8OC OA AC =-=，再由三角函数定义即可得出结果.解：90ABO ∠=︒，13OA ∴==，5AC AB ==， 8OC OA AC ∴=-=，82tan 123OC BDO OD ∴∠===； 故答案为：23.【考点】切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理以及三角函数定义 23.【答案】（1）3 8（2）解：由（1）知，反比例函数解析式是8y x=. 28n ∴=，即4n =.故24A （，），将其代入3y kx =+得到：234k +=. 解得12k =.∴直线AC 的解析式是：132y x =+.令0y =，则1302x +=，6x ∴=-，()60C ∴-，.6OC ∴=.由（1）知，3OB =.设D a b （，），则DE b =，6PE a =-. PDE CBO ∠=∠，90COB PED ∠=∠=︒，CBO PDE ∴△∽△， OB OC DE PE ∴=，即366b a =-①， 又8ab =②.联立①②，得24a b =-⎧⎨=-⎩（舍去）或81a b =⎧⎨=⎩. 故81D （，）.【解析】（1）由一次函数解析式求得点B 的坐标，易得OB 的长度，结合点A 的坐标和三角形面积公式求得3OAB S =△，所以4ODE S =△，由反比例函数系数k 的几何意义求得m 的值；解：由一次函数3y kx =+知，03B （，）03B （，）. 又点A 的坐标是2n （，）， 13232OAB S ∴=⨯⨯=△.:3:4OAB ODE S S =△△. 4ODE S ∴=△.点D 是反比例函数(0,0)my m x x=＞＞图象上的点， 142ODE m S ∴==△，则8m =. 故答案是：3；8；（2）利用待定系数法确定直线AC 函数关系式，易得点C 的坐标；利用90PDE CBO PED ∠=∠=∠=︒，判定CBO PDE △∽△，根据该相似三角形的对应边成比例求得PE 、DE 的长度，易得点D 的坐标.【考点】待定系数法确定函数关系式，函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数m 的几何意义，三角形的面积公式，相似三角形的判定与性质 24.【答案】（1）30（2）解：作CQ AB ⊥于Q ， 在Rt AQC △中，sin QCQAC AC∠=， sin 100.989.8QC AC QAC ∴=∠≈⨯=， 在Rt BQC △中，30ABC ∠=︒，219.6BC QC ∴==，9.6GC BC BG ∴=-=.【解析】（1）根据多边形内角和定理、正五边形的性质计算； 解：五边形ABDEF 是正五边形，(52)1801085BAF -⨯︒∴∠==︒，30ABC BAF BAC ∴∠=∠-∠=︒，故答案为：30；（2）作CQ AB ⊥于Q ，根据正弦的定义求出QC ，根据直角三角形的性质求出BC ，结合图形计算即可.【考点】正多边形和圆，解直角三角形的应用 25.【答案】（1）6（2）解：两个班一共有学生：()222750%98+÷=（人）， 九（1）班有学生：984850-=（人）.设九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是x 人、y 人. 由题意，得52250053622 3.7850x y x y +++=⎧⎨⨯+++⨯=⨯⎩，解得617x y =⎧⎨=⎩. 答：九（1）班学生中这道试题作答情况属于B 类和C 类的人数各是6人、17人. 【解析】（1）由条形图可知九（2）班一共有学生48人，将48个数据按从小到大的顺序排列，第24、25个数据都在D 类，所以中位数是6分；（2）先求出两个班一共有多少学生，减去九（2）班的学生数，得出九（1）班的学生数，再根据条形图，用九（1）班的学生数分别减去该班A 、D 两类的学生数得到B 类和C 类的人数和，再结合九（1）班学生这道试题的平均得分为3.78分，即可求解.【考点】统计图表与条形图的综合运用26.【答案】解：（1）设点B 的切线CB 交ON 延长线于点E ，HD BC ⊥于D ，CH BH⊥交BC 于点C ，如图所示： 则67DHC ∠=︒，90HBD BHD BHD DHC ∠+∠=∠+∠=︒， 67HBD DHC ∴∠=∠=︒， ON BH ∥，67BEO HBD ∴∠=∠=︒， 906723BOE ∴∠=︒-︒=︒，PQ ON ⊥，90POE ∴∠=︒，902367POB ∴∠=︒-︒=︒；（2）同（1）可证31POA ∠=︒，673136AOB POB POA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，36π64003968(km)180AB ⨯⨯∴==.【解析】（1）设点B 的切线CB 交ON 延长线于点E ，HD BC ⊥于D ，CH BH ⊥交BC 于点C ，则67DHC ∠=︒，证出67HBD DHC ∠=∠=︒，由平行线的性质得出67BEO HBD ∠=∠=︒，由直角三角形的性质得出23BOE ∠=︒，得出902367POB ∠=︒-︒=︒；（2）同（1）可证31POA ∠=︒，求出36AOB POB POA ∠=∠-∠=︒，由弧长公式即可得出结果.【考点】切线的性质，直角三角形的性质，弧长公式27.【答案】（1）()29，（2）解：对称轴2x =，925C ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，，由已知可求5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点A 关于2x =对称点为13,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+， 53B ∴（，）， ①当275n =时，272,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，DA ∴=，185DN =，365CD = 当PQ AB ∥时，DPQ DAB △∽△，DAC DPN △∽△， DP DNDA DC∴=，DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQ DAB △∽△，DNQ DCA △∽△，DP DNDB DC∴=，DP ∴=综上所述，DN =②92155n << 【解析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；解：顶点为29D （，），故答案为()29，； （2）由对称轴可知点92,5C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点A 关于对称轴对称的点13,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，借助AD 的直线解析式求得(5,3)B ；①当275n =时，272,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求DA ，185DN =，365CD =.当365CD =时，PQ AB ∥，DPQ DAB △∽△，DP =；当PQ 与AB不平行时，DP =；②当PQ AB ∥，DB DP =时，DB =245DN =，所以212,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则有且只有一个DPQ △与DAB △相似时，92155n <<； 【考点】二次函数的图像及性质，函数图像上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质以及分类讨论思想 28.【答案】【观察】①90 ②120 【发现】①50②解：当050x ＜≤时，点()50150P ，在线段OP 上， ∴线段OP 的表达式为3y x =，当150xv v x-<时，即当5075x ＜＜，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点B 返回向点A 时，设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150xv x-， 根据题意知，150(150150)xx y x y x-+=-+-，3300y x ∴=-+， 即：3(050)3300(5075)x x y x x ⎧=⎨-+⎩＜≤＜＜，补全图形如图2所示， 【拓展】4875x ≤＜【解析】【观察】①设此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意列方程即可得到结论； ②此时相遇点距点A 为m 个单位，根据题意列方程即可得到结论； 解：①相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度，∴相遇地点与点B 之间的距离为15030120-=个单位长度，设机器人甲的速度为v ，∴机器人乙的速度为120430v v =， ∴机器人甲从相遇点到点B 所用的时间为120v， 机器人乙从相遇地点到点A 再返回到点B 所用时间为30150454v v +=，而12045v v＞，∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A ，返回到点B ，再返回向A 时和机器人甲第二次迎面相遇，设此时相遇点距点A m 个单位，根据题意得，()30150150430m m ++-=-，90m ∴=，故答案为：90；②相遇地点与点A 之间的距离为40个单位长度，∴相遇地点与点B 之间的距离为15040110-=个单位长度，设机器人甲的速度为v ，∴机器人乙的速度为11011404v v =， ∴机器人乙从相遇点到点A 再到点B 所用的时间为4015076011114v v +=， 机器人甲从相遇点到点B 所用时间为110v ，而11076011v v>， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点A ，再到点B ，返回时和机器人乙第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点A 为m 个单位， 根据题意得，1140150150(40)4m m ++-=-，120m ∴=，故答案为：120；【发现】①当点第二次相遇地点刚好在点B 时，设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150xv x -，根据题意列方程即可得到结论；解：①当点第二次相遇地点刚好在点B 时， 设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150xv x-， 根据题意知，150150(150)xx x x-+=-， 50x ∴=，经检验：50x =是分式方程的根， 即：50a =， 故答案为：50；②设机器人甲的速度为v ，则机器人乙的速度为150xv x-，根据题意列函数解析式即可得到结论；【拓展】由题意得到150150150(150150)xx y x y x-+++=-+-，得到5300y x =-+，根据第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离y 不超过60个单位长度，列不等式即可得到结论.解：如图，由题意知，150150150(150150)xx y x y x-+++=-+-， 5300y x ∴=-+，第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离y 不超过60个单位长度，530060x ∴-+≤， 48x ∴≥，75x ＜，4875x ∴≤＜，故答案为4875x ≤＜.。