A.600B.800C.1000D.120 0平行四边形讲义平行四边形】例1〗如图，已知ABCD 中，M 是BC 的中点，且AM=9,BD=12,AD=10, 则该平行四边形的面积为 _________（平移AM ，使分散的条件集中到一个三角形中）例2〗如图ABCD 中，∠ DAB=60 0，点E、F 分别在CD、AB 的延长线上，且AE=AD,CF=CB （1）求证：四边形AFCE 是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠ DAB=60 0”，上述的结论还成立吗？若成立请写出证明过程；若不成立请说明理由例3〗如图，△ABC 中，∠C=90 0，点M在BC上，且BM=AC ，点N在AC 上，且AN=MC,AM 与BN 相交于点P ，求证∠ BPM=45 0（条件给出的是线段的相等关系，结论是求角的度数，条件中国有直角和相等的线段，联想到等腰直角三角形；故平移AN, 构造平行四边形）例4〗四边形ABCD 中，AB=BC=CD ，∠ BAD 和∠ CDA 都是锐角，点P 是对角线BD 上一点，PQ∥AB 交AD 于Q，PS∥ BC交DC于S，四边形PQRS也是平行四边形.1）当P于点B重合时，图（1）变为图（2），若∠ ABD=90 0，求证△ ABR ≌△CRD（用不同的方法）2）对于图（2）若四边形PRDS 也是平行四边形，此时还应满足什么条件？例5〗.四边形ABCD 中,DB 交AC 于P,EF过P点分别交AD 、BC于E、F，且PE=PF，PA+AE=PC+CF. 求证：PA=PC.矩形、菱形】例6〗如图，矩形ABCD 中对角线相交于O，AE 平分∠ BAD 交BC 于E，∠ CAE=15 0，则∠ BOC= ____例7〗如图，四边形ABCD 是菱形，△ AEF 是正三角形，点E、F 分别在边CB、CD 上，且AB=AE, 则∠ B=( )B 例 13 E C不重合），点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB .1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；2）设 AP =x , △ PBE 的面积为 y .① 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；例 8〗 矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，点 B 落在 AD 上的 B 1 处，点 落在A 1处 .1）求证： B 1E=BF2）设 AE=a ，AB=b ，BF=c ，试猜想 a,b,c 之间有何等量关系，并证明。

2008 年湖北省咸宁市）如图，在△ ABC 中，点 O 是 AC 边例 9〗 上的一个动点，过点 O 作直线 MN ∥BC ，设 MN 交∠BCA 的角平分线于点 E ，交∠ BCA 的外角平分线于点 F ．1）求证： EO=FO ；2）当点 O 运动到何处时， 并证明你的结论．例 10 〗 山东东营）如图 2，四边形 ABCD 为矩形纸片．把纸片 ABCD 折叠，使点 B恰好落在 CD 边的中点 E 处，折痕为 AF ．若 CD ＝ 6，则 AF 等于A ）4 3 （B ）3 3 （C ） 4 2D ）８〖例 11〗 （威海市）将矩形纸片＝3，则 BC 的长为A ． 1B ． 2C ． 2 答案： D【正方形】 ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF ．若 AB 例 12 〗 正方形的边长为 8，M 的最小值是多少？在 DC 上，且 DM=2 ，N 是 AC 上的一个动点； 则 DN+MN例 13 〗 海南省） 如图， P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（ P 与 A 、C四边形 AECF 是矩形？）A 图2D C例14〗 （08武汉）正方形 ABCD 中， O 是对角线 AC 的中点， P 是对角线 AC 上的一 动点，过 P 作PF ⊥DC 于F.如图，当点 P 与点 O 重合时，显然有 DF=CF.1）如图 2，若点 P 在AO 上（不与点 A ，O 重合），PE ⊥PB 且PE 交CD 于点 E. 求证：DF=EF ；写出线段 PC 、 PA 、CE 之间的一个等量关系式，并证明你结论 .2）若 P 在线段 OC 上（不于 O ，C 重合），PE ⊥PB 且PE 交直线 CD 于点 E.请完成图 3，并判断（ 1）中的两个问题是否分别成立？若不成立写出相应的结论 .〖例 15〗 如图，在正方形 ABCD 中， E 是 AB 上一点， F 是 AD 延长线上一点，且 DF ＝BE ．⑴求证： CE ＝ CF ；⑵在图 1 中，若 G 在 AD 上，且∠ GCE ＝45°，则 GE ＝BE ＋ GD 成立吗？为什么？ ⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 2，在直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC （BC >AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝12，E 是 AB 上 一点，且∠ DCE ＝45°， BE ＝4，求 DE 的长．〖例〗小明在研究正方形 ABC 的有关问题时，得出“在正方形 ABCD 中，如果点 E 是 CD 的中点，点 F 是 BC 边上的一点，且∠ FAE=∠ EAD ，那么 EF ⊥AE ”。

小明是一个善于提问 题的同学，他想：若把正方形 ABCD 改为矩形，其他的条件不变，是否还有 EF ⊥ AE 的结 论呢？请你对上述的两个问题作出解释。

按照上述的思路你会进一步提出什么问题？并对你考虑在菱形中， 在一般的平行四边形中的情形； 进一步研究图形还会发现与四边形 AFCD 有关的结AF与 CF 、 AD 的关提出的问题给予解释。

图1 图2梯形】〖例 16〗 ：梯形 ABCD 中， AB ∥DC ，∠ ADC+ ∠ BCD=90 0，且 DC=2AB ，分别以 DA ，AB ，BC 为边 向梯形外作正方形，其面积分别为 S 1， S 2，S 3，求 S 1，〖例 17〗(2008 年甘肃省白银市)如图 (1)是一个等腰梯形，由样的等腰梯形恰好可以拼出如图 (2)所示的一个菱形．对于图 (1) 中的等腰梯形，请写出它的 内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：例 18 〗ABCD 中，∠A=∠B=900，AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm, 动点 P 从A 开始沿 AD 边向 D 以 1cm/ 秒的速度运动，动点 Q 从 C 开始沿 CB 边向 B 以 3cm/秒的速度运动，P 、 Q 分别从点 A 、 C 同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运 动时间为 t 秒，求( 1)t 为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形？( 2)t 为何值时，四边形 PQCD 为等腰梯形？例 19 〗.等腰梯形 ABCD 中， DC ∥ AB ，AD=BC ，对角线 AC ⊥BD 于 O ，若 DC=3cm,AB=8cm, 求 这个梯形的面积。

〖例 20〗已知梯形 ABCD ，AD ∥BC ，∠ABC=90 0，AD=3 ， DC 旋转 900得线段 DE ，求△ ADE 的面积。

根据 AB 长的不确定，在特殊情况下探索三角形的面积，在一般情况下给出证明。

利用的 数学思想是 ： 一般与特殊的关系 )如图，直角梯形 1)BC=5，积是13.如图，△ ABC 中， CD 是 AB 边上的高， D 为垂足， M 为 AB 中点， DM= AC ，求证： 2∠A=2∠B4．如图，已知四边形 ABCD 中， R 、P 分别是 BC 、CD 上的点， E 、F 分别是 AP 、 RP 的中点，当点 P 在CD 上从 C 向D 移动而点 R 不动时，那么下列结论成立的是A 、线段 EF 的长逐渐增大B 、线段 EF 的长逐渐减小C 、线段 EF 的长不变D 、线段 EF 的长与点 P 的位置有关5（. 2008乌鲁木齐） ．如图，在四边形 ABCD 中，点E 是线段 AD 上的任意一点 （E 与 A ，D 不重合）， G ，F ，H 分别是 BE ， BC ，CE 的中点．（1）证明四边形 EGFH 是平行四边形；1（2）在（1）的条件下，若 EF BC ，且 EF BC ，证明平行四边 2 形 EGFH 是正方形． 6.△ABC 中， CD=AB ，∠ ADB= ∠ BAD ，AE 是△ ABD 的中线，求证： AC=2AE.7.梯形 ABCD 中， AD ∥BC ，∠ CAD=60 0，AC 与BD 交于 O ，E 是 OD 中点， F 是OC 的中点， G 是AB 的中点。

求证：△ GEF 是等边三角形中点相关的问题】1.任意四边形各边中点的连线是什么图形？当得到的四边形是矩形、菱形时，原四边形应满 足什么条件？2．如图，矩形 Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形 ＡＢ2 Ｃ2 Ｄ2 2 ，再顺次连结四边形 Ａ2ＢＣ2 Ｄ2 2 四边中点得到四边形 Ａ3Ｂ3ＣＤ3 3 ，依此类推，求四边形 Ａn ＢＣn Ｄn n 的面8. 梯形 ABCD 中， AD ∥CB ，∠ B+ ∠ C=900， 则 EF 的长是多少？9.平行四边形的两条对角线的长分别为 _ 4， 6.则其边的取值范围是10.（2007 山东临沂）如图，在四边形 ABCD 中， E 、F 、G 、H 分别是 AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形 EFGH 是菱形，四边形 ABCD 还应满足的一个条 件 答案： AD ＝BC ，或 ABCD 为等腰梯形（答案不唯一）11. △ AEB 及△AFC 是直角三角形，∠ AEB= ∠AFC=90 ，∠ ABE= ∠ ACF ， M 是BC 的中13..如图，M ，N ，P ，Q 分别是五边形 ABCDE 的边的中点， O 是PQ 的中点，K 是MN 的AD=1 ，BC=3， E ，F 分别是 AD ，BC 的中点，点， 探究 ME 和 MF 的大小关系12. D 在AB 上，E 在 AC 上，BD=CE ，M 是BE 中点， N 是CD 中点.M ，N 交B 于P 交AC 于 Q. 求证：∠ APQ=∠AQP中点，探究线段OK 与BC 的关系.练习】1.（08潍坊）如图，ABCD 为平行四边形，AD=a，BE∥AC，DE交AC 的延长线于点F，BE 于 E 点.（1）求证：DF=FE ；（2）若AC=2CF ，∠ ADC=60 °，AC⊥ DC ，求BE 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABED 的面积.2.已知，D，E 分别是正△ ABC 的BC ，AB 边上的点，CD=BE ，以AD 为边作正△ ADF ，且连接EF。

（1）判断四边形CDFE 的形状。

（2）当∠ EFD=30 0时，求 D 点的位置。