4.1 设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求：（1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。

问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先，{}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ======根据泊松过程的独立增量性质可知{}{})(1212121211221212!)()]([)()()(t t k k ek k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是，{}21122!)(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----===(2) 解：该过程的均值为[]()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∑+∞=--+∞=-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >)[]()[])]([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-=其中，)()]()([1212t t t N t N E -=-λ121212)]([t t t N E λλ+=于是，12t t >时的相关函数为[]12121212121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-=同理可得21t t >时的相关函数为[]221221)()(t t t t N t N E λλ+=所以，泊松过程的相关函数为[]{}2121221,min )()(t t t t t N t N E λλ+=所以，泊松过程过程不是平稳过程。

4.2 设有一个最一般概念的随机电报信号{)(t ξ}，它的定义如下：（1） )0(ξ是正态分布的随机变量),0(2σN ； （2） 时间τ内出现电报脉冲的个数服从泊松分布，即λτλττ-=e k k P k !)(},{ (k =1,2,…)（3） 不同时间的电报脉冲幅度服从正态分布N(0,2σ)，这个脉冲幅度延伸到下一个电报脉冲出现时保持不变，不同电报脉冲幅度的取值是相互统计独立的，同一电报脉冲内幅度是不变的。

（4） 不同时间间隔内出现电报脉冲的个数是相互统计独立的。

它的样本函数如图4-2。

图4-2(1) 试求它的二元概率密度。

(2) 试问该过程是否平稳？(1) 解：设t 1<t 2，t 1和t 2时刻的脉冲幅度之间的关系有两种情况：① t 1和t 2 处于同一脉冲内；② t 1，和t 2不处于同一脉冲内。

对于情况②，由于不同脉冲内的幅度取值是相互统计独立的，因此两时刻的脉冲幅度间的联合概率密度函数为)()(2)(1)(21x f x f t t ξξ其中，)(1)(1x f t ξ和)(2)(2x f t ξ分别是)(t ξ在t 1和t 2时刻的概率密度函数。

发生情况②的概率就是t 1和t 2两个时刻间的脉冲变化次数大于等于1的概率，即21121,1!)(}Pr{t t e e k t t k k -=-==-∞=-∑τλτλτλτ处于不同脉冲内和显然，t 1和t 2 处于同一脉冲内的概率为λτ-e 。

在这种情况下，两时刻的脉冲幅度间的联合概率密度函数为)()(121)(1x x x f t -δξ因此，t 1和t 2时刻的脉冲幅度的联合概率密度函数为)(2exp 212exp 21]1[),(12221)(222212)(21)()(121221x x x e x x ex x f t t t t t t -⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=----δσπσσπσλλξξ (2). 由此可见该过程是平稳过程，并且可以推导其多维PDF 也是只与各时刻间的间隔有关，因此是严平稳过程。

4.3 设1ξ、2ξ为独立同分布随机变量，且均匀分布于(0，1)上，又设有随机过程)(sin )(21t t ξξη=求 (1) )(t η均值； (2) )(t η的相关函数 (1) 解：由于1ξ、2ξ是独立的，因此)]([sin ][)](sin [)]([2121t E E t E t E ξξξξη==1ξ、2ξ都均匀分布于(0，1)上，所以21][1=ξE ttt t E cos 1d )(sin )]([sin 10222-==⎰ξξξ 于是，ttt E 2cos 1)]([-=η (2) 相关函数为)](sin )([sin ][)]()([22122121t t E E t t E ξξξηη=其中31][21=ξE 和⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---=+--=⎰21212121122122122212)sin()sin(21d )]}(cos[)]({cos[21)](sin )([sin t t t t t t t t t t t t t t E ξξξξξ 所以，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---=2121212121)sin()sin(61)]()([t t t t t t t t t t E ηη4.4 设)(t ξ是实正态分布平稳随机过程，它的数学期望为0。

如定义⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=|)()(|)()(121)(τξξτξξηt t t t t 试证明[])(cos 1)}({1τπηξk t E -=-其中，2/)()(ξξξσττC k =，)(τξC 代表)(t ξ的协方差函数，)0(2ξξσC =代表)(t ξ的方差。

证明：由给出的)(t η定义式可知它有两种可能的取值，即⎪⎩⎪⎨⎧<+>+=0)()(,00)()(,1)(τξξτξξηt t t t t因为)(t ξ是实正态平稳随机过程，且均值为0，所以联合正态分布为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+---=+)1(22exp 121),(222222)()(r y rxy x r y x f t t σπστξξ 其中，)(/)(2τστξξξk C r ==参考《概率随机变量和随机过程》（西安电子科技大学译本）之第226至229页可以得πατξξ+=>+21}0)()({t t P πατξξ-=<+21}0)()({t t P 其中，r arcsin =α因此，)(t η的均值为)]([cos 1)arccos(121}0)()({0}0)()({1)}({1τππαππτξξτξξηξk r t t P t t P t E -=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=>+⨯+>+⨯=- 4.5 设有随机过程)(sin )(θξ+=t z t ，)(+∞<<-∞t 。

其中，θ,z 是相互独立的随机变量，21}4{==πθP ，21}4{=-=πθP ，Z 均匀分布于（-1，1）之间。

试证明)(t ξ是宽平稳随机过程，但)(t ξ不满足严平稳的条件（不满足一级严平稳的条件）。

证明：由Z 均匀分布于（-1，1）之间得31][,0][2==z E z E 并且z 和θ相互独立。

所以，)(t ξ的均值为0)]([sin ][)]([=+=θξt E z E t E)(t ξ的相关函数为)(cos 61)(cos )2(cos 21)2(cos 2161)(cos )2(cos 2131)](sin )([sin ][)]()(R[21122121122121221t t t t t t t t t t t t E t t E z E t t -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++⨯=++=πππθθξξ由此可见，)(t ξ的均值为常数，相关函数只与时间差12t t -有关。

因此，随机过程)(t ξ是宽平稳随机过程。

证明严平稳可以用特征函数，)(t ξ的一维特征函数为)4sin()]4sin(sin[)4sin()]4sin(sin[d 2121d 2121][21][21][11)4sin(11)4sin()4sin()4sin()sin(ππππππππθ--+++=+=+=⎰⎰---+-++t ju t u t ju t u z e z e eE eE e E t juz t juz t juz Z t juz Z t juz 与时间t 有关(如下图所示)，因此)(t ξ不是严平稳。

4.6 设z 为随机变量，θ为另一随机变量，z 与θ相互统计独立，θ均匀分布于)2,0(π间；又设有随机过程)()sin()(+∞<<-∞+=t t z t θωξ其中ω为常数，0>ω，试利用特征函数证明)(t ξ是一严平稳随机过程。

证明：因为特征函数能唯一地确定概率密度函数，若能证明)(t ξ的k 阶特征函数具有时移不变性，即),,,;,,,(),,,;,,,(21212121εεεφφξξ+++=k k k k t t t u u u t t t u u u ΛΛΛΛ则其k 维概率密度函数是时移不变的。

如果对于任意k 都成立，则该过程是严平稳的。

该随机过程中包含z 和θ两个随机变量，且z 与θ相互统计独立。

因此，其特征函数可以分两步求解。

首先，令a z =，对θ求均值，然后再对z 求均值。

由于θ均匀分布于)2,0(π间，即πθθ21)(=f ，于是θπθωεωεξπθd t a u j a z t u j E i ki i i ki i 21)]sin(exp[})]({exp[2011⎰∑∑++==+== 令βθωε=+。

则βπβωεξπωεωεθd t a u j a z t u j E i ki i i ki i 21)]sin(exp[})]({exp[211⎰∑∑+==+==+ 上式中的被积函数是β的周期函数，周期为π2。

因此，})]({exp[21)]sin(exp[})]({exp[12011a z t u j E d t a u j a z t u j E i ki i i ki i i ki i ==+==+∑⎰∑∑===ξβπβωεξθπθ 所以，}})]({exp[{}})]({exp[{11z t u j E E z t u j E E i ki i Z i k i i Z ξεξθθ∑∑===+即)]}({exp[)]}({exp[11i ki i i k i i t u j E t u j E ξεξ∑∑===+由此可见，)(t ξ的k 阶特征函数具有时移不变性，即)(t ξ为严平稳随机过程。