}
}
Rξ (t1 , t2 ) = ∑ Pr ⎡ ⎣η ( t1 ) − η ( t2 ) = k ⎤ ⎦ ( −1) cos ⎡ ⎣ω ( t1 + t2 ) ⎤ ⎦ + cos ⎡ ⎣ω ( t1 − t2 ) ⎤ ⎦
k k =0 ∞ ∞
{
}
=∑
k =0
(λ (t
1
− t2 ) ) k!
k k
e − λ (t1 −t2 ) ( −1) cos ⎡ ⎣ω ( t1 + t2 ) ⎤ ⎦ + cos ⎡ ⎣ω ( t1 − t2 ) ⎤ ⎦
=
1 [ cos[ x2 (t1 − t2 )] − cos[ x2 (t1 + t2 )]] dx2 6∫ 0
1 ⎡ sin(t1 − t2 ) sin(t1 + t2 ) ⎤ − ⎢ ⎥ 6 ⎣ t1 − t2 t1 + t2 ⎦
1
=
第4题 设 ξ (t ) 是实正态分布平稳随机过程，它的数学期望为 0，如定义
第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析
平稳随机过程 第1题 设有一泊松过程 {N (t ), t ≥ 0} ,求： (1) P{N (t1 ) = k1 , N (t 2 ) = k 2 } ， 用 t1 , t 2 的函数表示之； (2) 该过程的均值和相关函数。 （3）问该过程是否为平稳过程？ 解（1） ： 解（2） ： 解（3） ： 解（待补充）
解（1） ：
E {ξ1} = ∫ xdx =
0
1
1 2 1 3
E ξ1 = ∫ x 2 dx =
2 0
{ }
1
1
E[η (t )] = E[ξ1 ]E[sin(ξ 2t )]
=
1 sin x2tdx2 2∫ 0
1 = [1 − cos t ] / t 2
解（2） ：
E [η (t1 )η (t2 )] = E [ξ1ξ1 ]E [sin(ξ 2t1 )sin(ξ 2t2 )]
⎧2 x (0 ≤ x < 1) 对于 当给定 ξ ( n－1) = x 时 ξ ( n ) 的条件概率密度均与分布 n = 1,2,3， L， f 0 ( x) = ⎨ ⎩0 (其他）
于 (1 - x, 1) 之间。问 ξ ( n ), n = 0,1,2,L , 是否满足严平稳的条件？ 解（待补充）
第9题 设有两状态时间离散的马尔可夫链 ξ ( n ), n = 0,1,2,L , ξ ( n ) 可取 0 或 1，它的一步转移概
⎛q p ⎞ 率 矩 阵 为 ⎜ 1 1 ⎟ ， 其 中 p1 + q1 = 1, ⎜p q ⎟ ⎝ 2 2⎠ P{ξ (0) = 0} = p 2 + q 2 = 1,
3
1 juZ sin(ω t +θ ) e 2π
Φξ (u ) 于ｔ无关， ξ (t ) 的各阶矩于ｔ无关，它是严格平稳的。
解（待补充）
第7题 设有一相位调制的正弦信号，其复数表示式为 ξ (t) =e
j(ω t+θ(t))
−∞<t <∞，其中 ω为常数，
ω >0 ， θ (t) 是 一 个 二 级 严 平 稳 过 程 。 设 ψt t (u1,u2 ) 是 过 程 的 二 维 特 征 函 数 ， 即
考虑到ψ 0τ (1,0 ) = E e
{
}
{
jθ ( 0 )
}= 0
mξ (t ) ＝0，均值为常数
再求自相关函数
Rξ (t1 , t2 ) = E ξ ( t1 ) ξ ( t2 )
j ωt +θ t − j ω t +θ t = E e ( 1 ( 1 ))e ( 2 ( 2 ))
{
{
}
＝
j θ ( t ) −θ ( t ) = e jω ( t1 −t2 ) E e ( 1 2 )
{
}
}
= e jω ( t1 −t2 )ψ 0,τ (1, −1) = Rξ ( t1 − t2 )
故过程 ξ (t ) 是宽平稳过程，且 Rξ (t1 , t 2 ) ＝ = e
4
jω ( t1 −t2 )
ψ t ,t (1, −1)
1 2
第8题 设 有 一 时 间 离 散 的 马 尔 可 夫 过 程 ξ ( n ), n = 0,1,2,L , ξ (0) 具 有 概 率 密 度 函 数
= E e j (ωt +θ ( t ) ) = e jωt
{
} ⋅ E {e ( ) }
jθ t
= e jωt ∫ e jx dF ( x, t )
由于 θ (t ) 是一个二阶严平稳过程，故
mξ ( t ) = e jωt ∫ e jx dF ( x, t ) = e jωt ∫ e jx dF ( x ) = e jωt ⋅ E e jθ ( 0)
− λτ − λτ
前者 t1，t2 两点位于同一脉冲上，后者位于不同的相互独立的脉冲上， 故相应的二元概率密度是，定义τ＝ t1 − t2
e − λτ δ ( x1 − x2 )
解（2） ：
1 2πδ 2
exp(−
2 2 x2 1 x2 + x12 − λτ ) + (1 − e ) exp( − ) 2δ 2 2πδ 2 2δ 2
12
ψt t (u1,u2) = E{ej[u θ(t )+u θ(t )]} 同时对于任何 − ∞ < τ < ∞, ψ 0τ (1,0) = 0 ，试证明过程 ξ (t ) 是宽平
1 1 2 2 12
稳过程，并求它的相关函数 Rξ (t1 , t 2 ) 。 解： 先求均值，
mξ ( t ) = E {ξ ( t )}
{
}
考虑到 A 和η (t ) 是相互统计独立的
5
E (A 2 ) = Rξ (t1 , t2 )
＝
1 2 1 2 × 1 + × (− 1) = 1 2 2
1 E{cos[ω (t1 +t 2 ) + π (η (t1 ) + η (t 2 ))] + cos[ω (t1 − t 2 ) + π (η (t1 ) − η (t 2 )]} 2
且 P{ξ (0) = 1} =
p1 p1 + p 2
，
p2 试证明该过程为严平稳过程。 p1 + p 2
解（提示） ： 给出初始时刻的概率分布，给出任意时刻的概率分布，证明它们示相同的； 给出任意 N 个时刻的概率分布，证明它们具有平移不变性。
随机分析 第 10 题 设有相位调制的正弦波过程 ξ (t ) = A cos(ωt + πη (t )) ，其中 ω为常数，ω >0，{η (t ), t ≥ 0} 是泊松过程，A 是对称伯努利随机变量，即 P{ A = 1} = 1 , P{ A = −1} = 1 , ，A 和η (t ) 是相互统 2 2 计独立的，试画出其样本函数，样本函数是否连续？求 ξ (t ) 的相关函数 Rξ (t1 , t 2 ) ，问该过程 是否均方连续？ 解： 求 ξ (t ) 自相关函数：
E[η (t1 )η (t2 )] = E[ Z 2 ]E[sin(t1 + θ ) sin(t2 + θ )]
＝
1 E[cos(t1 − t2 ) − cos(t1 + t2 + 2θ )] 6 1 τ = t1 − t2 = cos(t1 − t2 ) 6
= Rξ (τ )
故 ξ (t ) 是宽平稳的 解（2） ： ｔ＝０时，sin(t + θ ) = sin θ 以 1/2 的概率取 2 2 ，以 1/2 的概率取 − 2 2 ，而 Z 均 匀分布于（－1，1） ，∴
Rξ (t1 , t2 )
= E A cos (ωt1 + πη ( t1 ) ) ⋅ A cos (ωt2 + πη ( t2 ) )
=
{
}
1 E { A2 } E cos ⎡ ⎣ω ( t1 + t 2 ) + π (η ( t1 ) + η ( t2 ) ) ⎤ ⎦ 2 + cos ⎡ ⎣ω ( t1 − t2 ) + π (η (t1 ) − η ( t2 ) ⎤ ⎦
ξ (t ) 的取值均匀分布于 (＝
π
4
时，sin(t + θ ) = sin(
+ θ ) 以 1/2 的概率取 1，以 1/2 的概率取 0，而 Z 均匀分
布于（－1，1） ，∴ ξ (t ) 以 1/2 的概率均匀分布于（－1，1） ，以 1/2 的概率取值为 0。 它的一维概率分布与ｔ有关，∴它不是严格平稳的
2
但不满足严平稳的条件（不满足一级严平稳的条件） 。 解（1） ： 首先计算随机变量 z 的均值和方差
E {Z } = ∫
1 xdx = 0 −1 2 1 1 1 E {Z 2 } = ∫ x 2 dx = −1 2 3
1
接着计算的均值函数和相关函数
E[η (t )] = E[ Z ]E[sin(t + θ )] = 0
条件数学期望
E (Y | xi ) = ∑ y j p j / i = ∑ y j p{ Y = y j | X = xi }
j j
全期望公式
E ( X ) = E{E [X / Y ]} = ∑ p Y = y j E (X / y j )
j
[
]
注意到
η ( t1 ) = m, η ( t2 ) = n η ( t1 ) − η ( t2 ) = k , η ( t1 ) + η ( t2 ) = η ( t1 ) − η ( t2 ) + 2η ( t2 ) = k + 2n