Z 服 从 参 数 为 ( 0 )的 瑞 利 ( Rayleigh )分 布 .
设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度 f (x,y)，求Z=X+Y的概率密度. y
解1 FZ ( z ) P ( Z z ) P ( X Y z ) z y f ( x , y )dxdy ( f ( x , y )dx )dy
设X ~ N ( 1 , 1 ), Y ~ N ( 2 , 2 ), X与Y相互独立，
2 2
则
Z X Y ~ N ( 1 2 , 1 2 ).
2 2
有限个相互独立的正态随机变量的线性组合 仍然服从正态分布.
例7
设X和Y是两个相互独立的随机变量，它 们的概率密度均为 10 x , 0 x 10, f ( x ) 50 其他. 0, 求Z = X+Y的概率密度.
证明 P ( X k ) e 1 1 , k 0,1,2,. k!
k
P (Y m ) e
n
2
2 , m0,1,2,. m!
m
由前面的例题可知
P ( X Y n) P ( X k ) P (Y n k ), n 0,1,2, .
已知 X , Y 相互独立, 且均服从 N ( 0 , 2 )
2 2
X Y 的概率密度. 2 1 x 解 2 X ~ N ( 0 , ), f X ( x ) exp 2 . 2 2
2 1 y 2 Y ~ N ( 0, ), f Y ( y ) exp 2 . 2 2
更一般地，设全班有n个同学，在相同条件下 独立重复进行同一个试验，每次试验成功的概率 是 p. 若第 i个同学做了mi次试验，其中试验成功的 次数是Xi. 全班同学一共进行了 m= m1+ m2+…+ mn 次试验. 设Z表示全班同学试验成功的总次数， Z= X1+ X2+…..+ Xn， 则Z~B(m, p).
§3.4
随机向量的函数的分布
设(X, Y)是二维随机向量，z = (x, y)是一个 已知的二元函数，如果当(X, Y)取值为(x, y)时， 随机变量 Z 的取值为z = (x, y),则 Z 称是二维 随机向量，(X, Y)的函数，记作Z = (X, Y). 问题: 已知(X, Y)的分布, 求Z = (X, Y)的分布.
z2 1 exp 2 , z 0, FZ ( z ) 2 其它. 0,
F Z ( z ) f Z ( z ).
z z2 2 exp 2 , z 0, f Z ( z ) 2 其它. 0,

这两个公式称为fX 和 fY 的卷积公式，记为 f X fY .
已知X, Y 相互独立且均服从N(0,1)分布，求 例6 Z=X+Y的概率密度. x2 1 2 解 X ~ N (0,1), f X ( x ) e , 2 2 y 1 Y ~ N (0,1), fY ( y ) e 2. 2 x ( z x)
一、离散型随机向量函数的分布 例1 设随机向量 ( X , Y ) 的分布律为
X
1
1 2 3
Y
2
1 12 2 12 2 12
1
1 12 1 12
0
3 12 0
0
求 (1) X Y , ( 2) X Y 的分布律.
2 12
概率
1 12
1 12
3 12
2 12
1 12
2 12
2 12
1 1 ( X ,Y ) ( ,1 ( 3,2) ( 3,0) 2 2
r 2
1 r 2 2 e 2 0
.
1 f Z (z) e 2
z2 4
1 2( e 2 2
z2 2 )2
, Z ~ N ( 0 , ( 2 ) 2 ).
若X和Y 独立，具有相同的分布N(0,1)，则 Z=X+Y服从正态分布N(0, 2).
x y z

x y z

(
z

f ( u y , y )du)dy

z

(令u x y ) ( f ( u y , y )dy )du.

o
x
由概率密度的定义，FZ ( z ) f Z ( u)du, 故 f Z ( z ) f ( z y , y )dy .
X Y 3
X Y
2
1
3 2 5 2
1 2 3 2
1
3 3
1
0
1
5
所以 X Y , X Y 的分布律分别为
X Y 3
P
X Y
1 12
2
1 12
1
3 12
3 2
2 12
1 2
1 12
1
2 12
3
3
2 12
5
0
1 12
1
4 12
5 2
2 12
3 2
1 12
X,Y相互独立，
2 2 1 x y f ( x, y) . 2 exp 2 2 2
Z X Y . 当 z 0时 , F Z ( z ) 0 . 当 z 0时 , FZ ( z ) P ( Z z ) P ( X 2 Y 2 z)
f Z ( z ) f X ( x ) fY ( z x )dx


1 2 1 e e 2 2
2
2
2
dx
fZ (z) 1 2
z2 4



e
x 2 ( z x )2 2
dx
令t x z 1 e e dx 2 2 z2 z2 1 4 t2 1 4 e e dt e 2 2 z2 1 4 e . 2
P ( Z n) P ( X Y n)
P ( Z n) P ( X Y n) n P { X k ,Y n k } k 0
P( X k ,Y n k )
P ( X k ) P (Y n k )
2 2
2 2 1 x y 2 exp 2 d xd y 2 2 2 2 x y z
设Z的分布函数和概率密度分别为 F Z ( z ),
f Z ( z ).
x2 y2 z
f ( x , y )dxdy
x r cos , y r sin . r2 1 z2 2 . 2 exp 2 r d r d 1 exp 2 2 2 rz
k 0 n
k 0 n
n
X, Y 相互独立
p( k )q( n k ), n 0,1,2,...
k 0
P ( Z n) p( k )q( n k ), n 0,1,2,...
k 0
n
设 X , Y 是相互独立的随机变量 ， X ~ P ( ), 1 例3 Y ~ P ( 2 ), 则X Y ~ P (1 2 ).
F Z ( z ) P ( Z z ) P ( ( X , Y ) z )
( x , y ) z
f ( x , y )dxdy .
若Z为连续型随机变量，则在 f Z(z) 的连续点处
f Z ( z ) FZ ' ( z ).
例5 ( 0 ), 求 Z
P
2 12
2 12
例2 分布分别为 P ( X k ) p( k ), k 0,1,2, P (Y m ) q( m ), m 0,1,2,
求随机变量 Z X Y的分布律 .
已知X , Y是相互独立的随机变量，其概率
解 Z=X+Y的所有可能的取值是0,1,2,…,
如果X i 服从二项分布 B( m i , p ), i 1,2, , n. X 1 , X 2 , , X n相互独立 , 则
Z X i ~ B( m , p )，
其中m m1 m 2 m n .
i 1
n
二、连续型随机向量函数的概率分布 已知(X,Y)~ f(x,y)，求Z = (X,Y)的概率分布.
f ( x , u x )du)dx
(

z


f ( x , u x )dx )du.
由概率密度的定义，FZ ( z )
故 f Z (z)

z

f Z ( u)du,
f ( x , z x )dx .
设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度 f (x,y)，则Z= X+Y为连续型随机变量，其概率密度为 f Z ( z ) f ( x , z x )dx ,
X~ B(n1, p). 若Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的 次数,每次试验中A出现的概率都为p, 则
Y~ B(n2,p).
Z=X+Y是在n1+ n2次独立重复试验中事件A 出现的次数，每次试验中A出现的概率都为p， 则Z=X+Y ~ B(n1 + n2, p). 于是Z是以(n1+n2，p)为参数的服从二项分布 的随机变量，即Z ~ B(n1+n2, p). 从问题的背景出发得到的结果更直接，更容 易理解.
f Z ( z ) f ( z y , y )dy .