习题2参考答案X 23456789101112P1/36 1/18 1/12 1/95/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。

故 1-=e a解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2)P{<X<}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+=解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()]1441314k k lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=（1）X ～P(λ)=P ×3)= P0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-解：设应配备m 名设备维修人员。

又设发生故障的设备数为X ，则)01.0,180(~B X 。

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于，即99.0)(≥≤m X P ，也即01.0)1(≤+≥m X P因为n =180较大，p =较小，所以X 近似服从参数为8.101.0180=⨯=λ的泊松分布。

查泊松分布表，得，当m +1=7时上式成立，得m =6。

故应至少配备6名设备维修人员。

解：一个元件使用1500小时失效的概率为3110001000)15001000(15001000150010002=-==≤≤⎰x dx x X P 设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y ，则)31,5(~B Y 。

所求的概率为329.0380)32()31()2(53225==⨯==C Y P解：(1)2ln )2()2(==<F X P101)0()3()30(=-=-=<<F F X P25.1ln 2ln 5.2ln )2()5.2()5.22(=-=-=≤<F F X P(2) ⎩⎨⎧<≤='=-其它01)()(1ex x x F x f解：(1)由1)(=+∞F 及)0()(lim 0F x F x =→，得⎩⎨⎧=+=01b a a ，故a =1,b =-1.(2) ⎪⎩⎪⎨⎧<≥='=-00)()(22x x xex F x f x (3) )4ln ()16ln ()16ln 4ln (F F X P -=<<25.041)1()1(24ln 216ln ==---=--ee（1）假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：1122340.80.8{0.81}12(1)(683)0.0272|P X x x dx x x x <≤=-=-+=⎰（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：1122340.90.9{0.91}12(1)(683)0.0037|P X x x dx x x x <≤=-=-+=⎰解:要使方程03222=+++K Kx x 有实根则使0)32(4)2(2≥+-=∆K K解得K 的取值范围为],4[]1,[+∞--∞Y ,又随机变量K~U(-2,4)则有实根的概率为31)2(4]34)2(1[=---+---=p解：X~P(λ)= P(1200) (1) 1111001002002002001{100}1200|x P X e dx e e ---≤===-⎰（2）11320020023003001{300}200|x P X e dx e e --∞-∞≥===⎰（3）1113300300200200221001001{100300}200|x P X e dx e e e ----≤≤===-⎰113222{100,100300}{100}{100300}(1)()P X X P X P X e ee ---≤≤≤=≤≤≤=--解：设每人每次打电话的时间为X ，X ~E ，则一个人打电话超过10分钟的概率为5105.0105.05.0)10(-+∞-+∞-=-==>⎰e e dx e X P xx又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y ，则),282(~5-e B Y 。

因为n =282较大，p 较小，所以Y 近似服从参数为9.12825≈⨯=-e λ的泊松分布。

所求的概率为)1()0(1)2(=-=-=≥Y P Y P Y P56625.09.219.119.19.19.1=-=--=---e e e解：(1))42.0(1)42.0()12110105()105(Φ-=-Φ=-Φ=≤X P 3372.06628.01=-=(2))12110100()12110120()120100(-Φ--Φ=≤≤X P 5934.017967.021)83.0(2)83.0()83.0(=-⨯=-Φ=-Φ-Φ=解：设车门的最低高度应为a 厘米，X~N(170,62){}1{}0.01170{}()0.996P X a P X a a P X a ≥=-≤≤-≤=Φ≥ 1702.336a -=184a ≈厘米解：X 的可能取值为1,2,3。

因为6.0106)1(3524====C C X P ； 1.01011)3(35====C X P ；所以X 的分布律为X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=31329.0216.010)(x x x x x F(1)22{0}{}0.22{}{0}{}0.30.40.73{4}{}0.12P Y P X P Y P X P X P Y P X πππππ=======+==+=====Y0 2π 42π i q(2)3.01.06.01)2(=--==X P{1}{0}{}0.30.40.73{1}{}{}0.20.10.322P Y P X P X P Y P X P X πππ=-==+==+====+==+= Y-1 1 i q（1）当11x -≤<时，(){1}0.3F x P X ==-=当12x ≤<时，(){1}{1}0.3{1}0.8F x P X P X P X ==-+==+=={1}0.80.30.5P X ==-=当2x ≥时，(){1}{1}{2}0.8{2}1F x P X P X P X P X ==-+=+==+=={2}10.80.2P X ==-=X -1 1 2 P（2）{1}{1}{1}0.30.50.8P Y P X P X ===-+==+= {2}{2}0.2P Y P X ====Y1 2 i q~(0,1)X N Q∴22()x X f x -=（1）设F Y (y)，()Y f y 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函数，则21221(){}{21}{}2y x Y y F y P Y y P X y P X dx +--∞+=≤=-≤=≤=⎰对()Y F y 求关于y的导数，得221()(1)2821()()2y y Y y f y ++--+'== (,)y ∈-∞∞（2）设F Y (y)，()Y f y 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函数，则 当0y ≤时，(){}{}{}0X Y F y P Y y P e y P -=≤=≤=∅= 当0y >时，有22ln (){}{}{ln }{ln }x X Y F y P Y y P e y P X y P X y dx ∞---=≤=≤=-≤=≥-=⎰对()Y F y 求关于y 的导数，得22(ln )(ln )22(ln )()0y y Y y f y ---⎧'-=⎪=⎨⎪⎩ y>0y 0≤（3）设F Y (y)，()Y f y 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函数，则 当y 0≤时，2(){}{}{}0Y F y P Y y P X y P =≤=≤=∅=当y>0时，222(){}{}{x Y F y P Y y P X y P X dx -=≤=≤=≤≤=对()YF y求关于y的导数，得2(ln)2()yYf y-⎧''==⎩y>0y0≤∵π:X U(0,)∴1()Xf xπ⎧⎪=⎨⎪⎩0xπ<<其它（1）2ln yπ<<∞当时2(){}{2ln}{ln}{}0YF y P Y y P X y P X y P=≤=≤=≤=∅=2lnyπ-∞<≤当时2221 (){}{2ln}{ln}{}{yeyYF y P Y y P X y P X y P X e P X dxπ=≤=≤=≤=≤=≤=⎰对()YF y求关于y的导数，得到2211()()2y yYe ef yππ⎧'=⎪=⎨⎪⎩2ln2lnyyππ-∞<≤<<∞（2）≥≤当y1或 y-1时，(){}{cos}{}0YF y P Y y P X y P=≤=≤=∅=11y-<<当时,arccos1(){}{cos}{arccos}Y yF y P Y y P X y P X y dxππ=≤=≤=≥=⎰对()YF y求关于y的导数，得到1(arccos)()Yyf yπ⎧'-=⎪=⎨⎪⎩11y-<<其它（3）≥≤当y 1或 y 0时(){}{sin }{}0Y F y P Y y P X y P =≤=≤=∅=01y <<当时，arcsin 0arcsin (){}{sin }{0arcsin }{arcsin }11Y yyF y P Y y P X y P X y P y X dx dxππππππ-=≤=≤=≤≤+-≤≤=+⎰⎰对()Y F y 求关于y 的导数，得到11arcsin (arcsin )()0Y y y f y πππ⎧''--=⎪=⎨⎪⎩01y <<其它习题3参考答案P{1<X ≤2,3<Y ≤5}=F(2,5)+F(1,3)--F(1,5)—F(2,3)= 3128（1）a=9（2）512（3）111120000111{(,)}(6)[(6)]992|yyP X Y D dy x y dx y x x dy --∈=--=--⎰⎰⎰1123200111111188(65)(35)9229629327|y y dy y y y =-+=-+=⨯=⎰ 解：（1）(2)222000(,)22(|)(|)(1)(1)yxyxu v vu v y u xy x F x y edudv e dv e du e e e e -+------===--=--⎰⎰⎰⎰（2）(2)2200223230000()222(|)2212(1)(22)(|)|1333xx x y x v x y xx x x x x x P Y X e dxdy e dx e dy e e dxe e dx e e dx e e ∞∞∞-+----∞∞-----∞-∞≤===-=-=-=-+=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 解：222222222222001()(1)(1)a x y a rP x y a d dr x y r πθππ+≤+≤==+++⎰⎰⎰⎰ 22222222011111(1)21(1)2(1)11|aa a d d r r r a a πθπππ=+=-⨯⨯=-=++++⎰⎰参见课本后面P227的答案3111200033()(,)2232|X y x f x f x y dy xy dy x ====⎰⎰22222220331()(,)3222|y f y f x y dx xy dx y x y ====⎰⎰,()20,X x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 02x ≤≤其它23()0Y y f y ⎧=⎨⎩01y ≤≤其它解：X 的边缘概率密度函数()X f x 为： ①当10x x ><或时，(,)0f x y =，()0X f x =1122220111() 4.8(2) 4.8[2] 4.8[12]2221001() 4.8(2) 2.4(2) 2.4(2)||Y y y xxX f y y x dx y x x y y y y y y f x y x dy y x x x =-=-=-+><≤≤=-=-=-⎰⎰或②当01x ≤≤时，220() 4.8(2) 2.4(2) 2.4(2)|xxX f x y x dy y x x x =-=-=-⎰Y 的边缘概率密度函数()Y f y 为：① 当10y y ><或时，(,)0f x y =，()0Y f y = ② 当01y ≤≤时，1122111() 4.8(2) 4.8[2] 4.8[12]222|Y y y f y y x dx y x x y y y =-=-=-+⎰ 22.4(34)y y y =-+（1）参见课本后面P227的答案（2）26()0xx X dy f x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰ 01x ≤≤其它6=0x x ⎧⎨⎩（1-） 01x ≤≤其它()0y Y dx f y ⎧⎪=⎨⎪⎩ 01y ≤≤其它6=0y ⎧⎪⎨⎪⎩） 01y ≤≤其它参见课本后面P228的答案 参见课本后面P228的答案 （1）220()()30X xyx dy f x ⎧+⎪=⎨⎪⎩⎰ 01x ≤≤其它22230x x⎧+⎪=⎨⎪⎩01x ≤≤其它 120()()3Y xy x dx f y ⎧+⎪=⎨⎪⎩⎰ 02y ≤≤其它1=360y ⎧+⎪⎨⎪⎩ 02y ≤≤其它 对于02y ≤≤时，()0Y f y >，所以2|3(,)1(|)()360X Y Y xyx f x y y f x y f y ⎧+⎪⎪==⎨+⎪⎪⎩01x ≤≤其它26+220x xyy ⎧⎪+⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩01x ≤≤其它 对于01x ≤≤时，()0X f x >所以22|3(,)2(|)2()30Y X X xy x f x y x f y x x f x ⎧+⎪⎪==⎨+⎪⎪⎩ 02y ≤≤其它3620x y x +⎧⎪+⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩02y ≤≤其它111222|001133111722{|}(|)1222540622Y X y y P Y X f y dy dy dy ⨯+⨯+<=====⨯+⎰⎰⎰由表格可知 P{X=1;Y=2}=≠P{X=1}P{Y=2}= 故}{}P{};P{y Y x X y Y x X iiiiP ====≠所以X 与Y 不独立由独立的条件}{}P{};P{y Y x X y Y x X iiiiP =====则}2{}2P{X }2;2P{X =====Y P Y}3{}2P{X }3;2P{X =====Y P Y1}P{X ==∑i可以列出方程a ab a =+++)91)(31(b b a b =+++)31)(181( 13131=+++b a 0,0≥≥b a解得91,92==b a 解（1）在中()20X xf x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 02x ≤≤其它23()0Y y f y ⎧=⎨⎩01y ≤≤其它当02x ≤≤， 01y ≤≤时，()()X Y f x f y 23(,)2xy f x y == 当2x >或0x <时，当1y >或0y <时，()()X Y f x f y 0(,)f x y == 所以， X 与Y 之间相互独立。