电感和电容的总瞬时功率为零，即pL(t)+pC(t)=0。电感和电
容与电压源和电阻之间没有能量交换。电压源发出的功率 全部为电阻吸收，即pS(t)=pR(t)。
图串联电路谐振时的能量交换
电感和电容之间互相交换能量，其过程如下:当电流减 小时，电感中磁场能量WL=0.5Li2减小，所放出的能量全部 被电容吸收，并转换为电场能量，如图 (a)所示。当电流增
谐振时电感和电容中总能量保持常量，并等于电感中 的最大磁场能量，或等于电容中的最大电场能量，即
1 1 2 1 US 1 2 2 W WL WC CU C LI L L = CQ 2 US 2 2 2 R 2
2
例 电路如图所示。已知 uS (t ) 10 2 cosωt V
u2 (t ) | H (j) | U1m cos[t 1 ()]
对于其它网络函数，也可得到类似的结果。
当电路的输入是一个非正弦波形时，可以利
用网络函数计算每个谐波分量的瞬时值，再用叠
加方法求得输出电压或电流的波形。
实际电路的网络函数，可以用实验方法求得。将正弦
波信号发生器接到被测网络的输入端，用一台双踪示波器 同时观测输出和输入正弦波。从输出和输入波形幅度之比 可求得求得转移电压比的|H(j)|。从输出和输入波形的相 位差可求得()。改变信号发生器的频率，求得各种频率 下的网络函数H(j)，就知道该网络的频率特性。
U L UC 0 L 1 Q U U R 0 RC
Q品质因数，表征串联谐振电路的谐振质量
有：U L U C QU
所以串联谐振又称为电压谐振。 与 谐振时: U L U 相互抵消，但其本
C
身不为零，而是电源电压的Q倍。
R 1 UC I0 X C U QU 0CR
2 2
若输入和输出属于不同端口时，称为转移函数。
U 2 / I1 和 U1 / I 2 称为转移阻抗。
I 2 / U1 和 I1 / U 2 称为转移导纳。 U 2 / U1 和 U1 / U 2 称为转移电压比。
I 2 / I1 和 I1 / I 2 称为转移电流比。
电感和电容吸收的功率分别为：
pL ( t ) QUSm I m cos( 0 t ) cos( 0 t 90 ) QUS I sin( 2 0 t ) pC ( t ) pL ( t ) QUS I sin( 2 0 t )
由于 u(t)=uL(t)+uC(t)=0 (相当于虚短路)，任何时刻进入
求: (l) 频率为何值时，电路发生谐振。
(2)电路谐振时, UL和UC为何值。
解：(l)电压源的角频率应为
1 1 0 rad/s 106 rad/s LC 10 4 10 8 (2)电路的品质因数为
Q
则
0 L
R
100
U L U C QUS 100 10V 1000V
2) 电流最大
电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗，即电源与电 路之间不发生能量互换。 4) 电压关系 电阻电压：UR = Io R = U
U 当电源电压一定时：I I 0 R 3) U、I 同相 X L XC arctan 0 R
电容、电感电压： L U C U
其中
U2 H ( j ) U1
( ) 2 1
表明输出电压u2(t)的幅度为输入电压u1(t)幅度的|H(j)|倍， 即
U 2 | H ( j ) | U1
表明输出电压u2(t)的相位比输入电压u1(t)的相位超前()，
即
2 1 ( )
若已知u1(t)=U1mcos(t+1)，则由u1(t)引起的响应为
11-2 串联谐振电路
（1） 谐振条件
I 由定义，谐振时：U 、 同相
i
+
R
+
即
X L XC arctan 0 R
uR _
+
谐振条件：
X L XC
谐振时的角频率
u
_
L C
uL _
+
1 或： o L oC
（ ωo C
当 ω ω 0
1 宽度，先计算与 | H ( jω ) | (即-3dB)对应的频率+和 2 －，为此令
0 Q 1 0
求解得到
1 1 1 2 0 4Q 2Q
由此求得3dB带宽
0 Q
或
f 1 : 下限截止频率
f 2 : 上限截止频率
通频带宽度越小(Q值越大)， 0 选择性越好，抗干扰能力 越强。
f
谐振曲线分析 1) 串联电路的阻抗频率特性 阻抗随频率变化的关系。
X L 2 f L
1 XC 2fc
XC
Z R j( X L XC )
Z R L 1
例试求图 (a)所示网络负载端开路时的驱动点阻抗
U 1 / I1 和转移阻抗 U 2 / I1 。
解：首先画出网络的相量模型，如图 (b)所示。用阻抗 串并联公式求得驱动点阻抗
1 R R jC 1 R 2 2C 2 j3RC U1 1 1 I1 jC jC 2 R 2C 2 2R jC
R
代入 Q
ω 0L 1 , 将上式改为 R Rω 0C U2 1 H ( jω) U1 ω ω0 1 jQ ω0 ω
| H ( jω) | 1 ω0 2 ω 1 Q ω0 ω
2
其
ω ω0 (j ) arctanQ ω0 ω
谐振的概念： 在同时含有L 和C 的交流电路中，如果总电压和 总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电 源之间不再有能量的双向交换，电路呈电阻性。 串联谐振：L 与 C 串联时 u、i 同相 并联谐振：L 与 C 并联时 u、i 同相
研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利 用谐振的特点，(如在无线电工程、电子测量技术等 许多电路中应用)。另一方面又要预防它所产生的危 害。
如Q=100,U=220V,则在谐振时
U L I0 X L
0 L
U QU
UL
相量图：
UR U
I
所以电力系统应避免发生串联谐振。
U L UC QU 22000V
UC
3.谐振时的功率和能量
设电压源电压为uS(t)=Usmcos(0t)，则：
U Sm i ( t ) I m cos( 0 t ) cos( 0 t ) R uL ( t ) QUSm cos( 0 t 90 ) uC ( t ) uL ( t ) QUSm cos( 0 t 90 )
三、利用网络函数计算输出电压电流
网络函数H(j)是输出相量与输入相量之比，H(j)反 映输出正弦波振幅及相位与输入正弦波振幅及相位间的关
系。在已知网络函数的条件下，给定任一频率的输入正弦
波，即可直接求得输出正弦波。例如已知某电路的转移电 压比
U2 H ( j ) | H ( j ) | ( ) U1
输入(激励)是独立电压源或独立电流源，输出(响应)是 感兴趣的某个电压或电流。
若输入和输出属于同一端口， 称为驱动点函数，或策动点函数。 以图示双口网络为例
U 1 / I1 和 U 2 / I 2 称为驱动点阻抗。 I / U 和 I / U 称为驱动点导纳。
1 1
2

C
2
XL
0 Z
0 Z R
0 Z
电路的频率响应
• RLC串联电路的谐振和频率响应 • RLC并联电路的谐振和频率响应
§11－1 网络函数
一、网络函数的定义和分类
动态电路在频率为ω的单一正弦激励下，正弦稳态响 应(输出)相量与激励(输入)相量之比，称为正弦稳态的网络 函数，记为H(jω)，即
输出相量 H ( j ) 输入相量
| H ( jω) |
1 ω0 2 ω 1 Q ω0 ω
2
由此式可见，当=0或=时，|H(j)|=0；
1 时，电路发生谐振，|H(j)|=1达到 LC 最大值，说明该电路具有带通滤波特性。为求出通频带的
当 ω ω 0
1 宽度，先计算与 | H ( jω ) | (即-3dB)对应的频率+和 2 －，为此令
大小相等、相 位相差180
U L I0 X L UC I0 X C
当 X L X C R时：
有： L UC U R U U
UC 、UL将大于 电源电压U
由于 U L UC U 可能会击穿线圈或电容的 绝缘，因此在电力系统中一般应避免发生串联谐 振，但在无线电工程上，又可利用这一特点达到 选择信号的作用。 令：
（2）谐振频率 或： 2 f 0 L
1 2 f 0 C
或
可得谐振频率为：
0
1 LC
1 f0 2 LC
电路发生谐振的方法：
1)电源频率 f 一定，调参数L、C 使 fo= f； 2)电路参数LC 一定，调电源频率 f，使 f = fo （3）串联谐振特怔 1) 阻抗最小 Z R 2 ( X L X C )2 R
二、网络函数的计算方法
输出相量 H ( j ) 输入相量
正弦稳态电路的网络函数是以ω为变量的两个多项式 之比，它取决于网络的结构和参数，与输入的量值无关。 在已知网络相量模型的条件下，计算网络函数的基本 方法是外加电源法：在输入端外加一个电压源或电流源， 用正弦稳态分析的任一种方法求输出相量的表达式，然后 将输出相量与输入相量相比，求得相应的网络函数。对于 二端元件组成的阻抗串并联网络，也可用阻抗串并联公式 计算驱动点阻抗和导纳，用分压、分流公式计算转移函数。