2! A
2
2
dV sin
2
2
x , 此时波腹处的势能为零, 波节处的势能为最大, dEp = 2 ! A
2
2
dV , 从波腹到波节势能逐
渐增大, 能量以势能的形式主要集中在波节附近。由( 7) 式可知, 此时波腹处的能量密度为零, 从波腹到波 2 2 节能量密度逐渐增大 , 在波节处达到最大值, W = 2 ! A 。 ( 下转第 65 页 )
Probe into standing wave energy
JIANG Lian jun, LI Mu lin
( Department of Physics, Hunan City University, Yiyang 413049, China)
Abstract: Taking the transverse waves transmittes in solid substances for and example, the essay first expounds and proves the conservation of energy between any wave hand and the wave belly nest to it, between any wave band and any wave belly and between any 2corresponding positions and them, from the aspect of energy density, explains that the net amount of the energy flowing in and out doesn! t vary wity time between any 2 corresponding posit ions in the whole elastic medium, thus concluding that there is no oriented travel of energy in standing waves. Besides, the essay discloses the process of energy transformation between any wave band and the wave belly next to it. Key words: standing wave; energy and energy density; transformation of energy
[ 1] [ 2] [ 3] [ 4] [ 5] [ 6] 丁士进 , 王鹏飞 , 张卫等 用于 ULSI 的低 K 氟化非晶碳膜研究 [ J] . 半导体技术 , 2001, 26( 5) : 26- 30 叶超 , 宁兆元等 微波电子回旋共振等离子体增强化学气相沉积法积氟化非晶碳膜的研究 [ J] 物理学报 , 2001, 50( 4) : 784- 789 李学丹 , 万英超等 真空沉积技术第 1 版 [ M] 浙江: 浙江大学出版神圣 , 1994 物理学报 , 2002, 51( 11) : 2635- 2639 宁兆元 , 程珊华 , 叶超等 电子回旋共振等离子体增强化学气相沉积 a- CFx , 薄膜的化学键结构 [ J] 物理学报 , 2001, 50( 3) : 566- 570 黄松 , 辛煜 , 宁兆元等 微波输入功率引起 a- C: F 薄膜交联结构的增强 [ J] 程珊华 , 宁兆元 , 康健等 沉积温度对含氢非晶碳膜电学性质的影响 [ J] 物理学报, 2000, 49( 10) : 2041- 2045
( 湖南城市学院 物理与电子工程系 , 湖南 益阳 413049) 摘 要 : 以固体中传播的横波为例 , 从能量 的角度 论证 了相 邻波节 、 波 腹间 的总能 量守 恒 , 任一波 节 、 波腹 间、 一对 对应 位置间的总能量守恒 ; 从能量密度的角度论证 了在整个 弹性介质中 无数 对应 位 置间流 出和流 入的能量净值是不随时间变化的 , 从而得出驻波 不存在能量的定向传播 。 并讨论了驻波在相邻波节与 波腹之间 能量的转化过程 。 关键词 : 驻波 ; 能量和能量密度 ; 能量转化 中图分类号 : O326 文献标识码 : A 文章编号 : 1672 5298( 2004) 04 0056 03
1
驻波方程
设有两个振幅均为 A , 圆频率为 , 波长为 的相干谐振波, 一个沿 x 轴正方向传播 , 另一个沿 x 轴 2 ∀x ) ; y 2 = A cos( ∀ t + 2 ∀x ) 任选一交叠点为原 y 1 = A cos( ∀ t -
负方向传播。其波动方程分别为:
点, 并在 x = 0 时振动质点向上移动到最大位移时为计时起点 , 得到横驻波方程为 : 2 y = y 1 = y 2 = 2A cos x cos ∀t 其中 cos ∀t 表示谐振动 , 而| 2A cos 2 x | 即为谐振动的振幅。 波节 ( 波线上振幅始终为零) 位于 x = # ( 2 k + 1) ∀ / 4
2
驻波的能量和能量密度
设波是在密度为 ! 的弹性均匀介质中传播 , 现在坐标为 x 处取一体积元为 d V , 称之为介质体元, 其 质量为 dm = !d V , 视该体积元为一小体元。由 ( 1) 式可求出介质体元的振动速度: y 2 u= = - 2A cos x sin ∀t t 由此得介质体元的动能为
2 2 dE k = 1 dmu = 2 ! A 2 2 2 2 dV cos 2 x sin ∀t
( 4)
介质体元产生相对弹性形变: dy = y dx = - 2A 2 sin 2 x cos ∀ tdx x 由此得介质体元的弹性形变势能为 1 2 2 dEp = 2 k ( dy ) = 2 ! A
W 1 + W 2 为恒量 , 这表明在波节和波腹处流出和流入的能量的净值是不随时间变化的。这一规律不仅在 于一波节和波腹 , 还存在于任意一对 对应 位置处。设任一波节位于 x 1 处 , 某点 a 位于 x 1 + ∀x 处; 任一 波腹位于 x 2 处 , 某对应点 b 位于 x 2 + ∀x 处。将 x = # ( 2 k + 1) ∀ Wa = 2! A
3. 2
相邻波节波腹处的能量密度 将( 2) 式和( 3) 式分别代入( 7) 式可得 , 波节处的能量密度 : 2 2 2 W1 = 2! A cos ∀t 波腹处的能量密度: 2 W2 = 2! A
2
( 13) ( 14) ( 15)
sin
2
∀t
在任意时刻 , 且无论所考虑的波节和波腹是否相邻 , 均有: 2 2 W1 + W2 = 2! A
第 17 卷第 4 期
2004 第 12 月
湖南理工学院学报 ( 自然科学版 )
Journal of Hunan Inst itute of Science and T echnology ( Natural Sciences)
Vol. 17 No. 4 Dec. 2004
驻波能量探究
蒋练军, 李木林
% % %
%
k∀ /2 k ∀ /2 2 2 ( 2 k - 1) 2 2 dE = ! A dx = ! A ( 9) 4 /4 /4 由此证明了不相邻波节波腹间的总能量也守恒。这一规律不仅存在于任一波节波腹间 , 同样还存在于任 E=
% % %
%
意一对 对应 位置处。设任一波节位于 x 1 处 , 某点 a 位于 x 1 + ∀x 处 ; 任一波腹位于 x 2 处 , 某点 b 位于 x 2 + ∀x 处。则称 a 和 b 为一对 对应 位置。由 ( 6) 式可得, 任一一对 对应 位置间的总能量为 k ∀ / 2+ ∀x k ∀ / 2 + ∀x 2 2 2 2 2 2 2 2 E= dE = 2! A ( cos x sin ∀ t + sin x cos ∀ t ) dx / 4+ ∀x / 4 + ∀x k ∀ / 2+ ∀x 2 2 ( 2 k - 1) 2 2 = ! A dx = ! A ( 10) 4 / 4 + ∀x
2 2
4
+ ∀x 代入 ( 7) 式得 a 点处能量密度: ( 16)
( sin ∀x sin
2
2
∀t + cos ∀x cos
2
2
∀t )
将 x = # k ∀ + ∀x 代入( 7) 式得 b 点处能量密度: 2 2 2 2 2 2 2 Wb = 2! A ( cos ∀x sin ∀ t + sin ∀x cos ∀t ) 则 Wa + Wb = 2 ! A
收稿日期 : 2004- 06- 17
( 1)
k = 0, 1, 2, ∃
( 2)
作者简介 : 蒋练军 ( 1966- ) , 男 , 湖南安化人 , 硕士 , 湖南城市学院物理与电子信息工程系副教授。主要研究方向 : 理论物理研究。
第4 期
蒋练军
李木林 : 驻波能量探究
57
波腹 ( 波线上振幅始终具有极大值 ) 位于 k = 0, 1, 2, ∃∃, 2 介于波腹与波节之间的质点, 它们的振幅则随坐标位置按| 2A cos x | 的规律变化。 x= # k∀ / 2 ( 3)
2
∀t + sin 2
2
2
x cos
2
∀t )
( 6)
2
( cos
2
x sin
2
∀t + sin
2
x cos
2
∀t)
( 7)
3
3. 1
驻波中能量的传播
相邻波节波腹间的总能量 由( 6) 式可得 , 任一相邻波节波腹间的总能量为 # k ∀ /2 # k ∀ /2 2 2 E= dE = ! A dx # ( 2 k + 1) ∀ / 4 # ( 2 k + 1) ∀ / 4 1 2 2 = ! A ( 8) 4 由此证明了相邻波节波腹间的总能量守恒。这一规律不仅存在于相邻波节波腹间, 还存在于任一不相邻 波节波腹间。由 ( 6) 式可得 , 任一不相邻波节波腹间的总能量为