重庆南开中学高2020级高三3月月考理科数学答案一.选择题：DCCB CBBD ACDB 11．解：令xlnx ﹣kx +1＝0，则k ＝；令；；∴当时，g ′（x ）＜0，g （x ）单减；当x ∈[1，e ]时，g ′（x ）＞0，g （x ）单增；∴当x ＝1时，有g （x ）min ＝1，又∵，，∴,∵f （x）在上只有一个零点，∴g （x ）＝k 只有一个解；∴k ＝1或．12．解：以BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，设B （﹣a ，0），C （a ，0），（a ＞0），则A （0，），设P （x ，y ），由PB 2+PC 2＝3PA 2＝3得（x +a ）2+y 2+（x ﹣a ）2+y 2＝3[x 2+（y﹣）2]＝3，即x 2+y 2＝﹣a 2，x 2+（y ﹣）2＝1，即点P 既在（0，0）为圆心，为半径的圆上，又在（0，）为圆心，1为半径的圆上，可得|1﹣|≤≤1+，由两边平方化简可得a 2≤，则△ABC 的面积为S＝•2a•＝a＝，由a 2≤，可得a 2＝，S取得最大值，且为．故选：B ．二．填空题：13.4014.515.21n -16.92π三．解答题：17.解：（1） 2311+=+n n a a ，41=a ，∴)3(3131-=-+n n a a ，故{}3-n a 是首项为1，公比为31的等比数列；..............（6分）（2）由（1）知1313-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n a ，n T =3n +）（110313131-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛n =3n +31-131-1n⎪⎭⎫⎝⎛=3n +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛n 31-123..............（6分）18．解：（1）因为200份试卷中用系统抽样中等距抽样的方法抽取了20份试卷，所以相邻两份试卷编号相差为10，所以试卷得分为144分的试卷编号180...............（3分）（2）15=0.001510000，根据正态分布可知：，，即名的成绩全部在分以上，（含分），......（2分）根据茎叶图可知这人中成绩在分以上含分）的有人，而成绩在分以上含分）的有人，（1分）的取值为，，，（每一个概率各1分）的分布列为჎჎因此.......（2分）19.解：（1）证明： 侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB 底面=ABCD AB ，四边形ABCD 为正方形，,BC AB BC ∴⊥⊂面ABCD ，BC ∴⊥面PAB ，又AP ⊂面PAB ，AP BC ∴⊥，BE ⊥平面APC ，AP ⊂面PAC ，AP BE ∴⊥，......（2分）,,BC BE B BC BE =⊂ 平面PBC ，AP ∴⊥面PBC ，AP ⊂面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PBC ；......（4分）（2）111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，求三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求PA PB ⨯的最大值.令,PA x PB y ==，由(1)知，PA PB ⊥，224x y ∴+=，而221123323P ABCx y V xy -+=≤⨯=，当且仅当2x y ==，即2PA PB ==P ABC V -的最大值为23.......（2分）如图所示，分别取线段AB ，CD 中点,O F ，连接,OP OF ，以点O 为坐标原点，以OP ，OB 和OF 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -．则()0,1,0A -，()0,1,2C ，()1,0,0P ，......（2分）所以()1,1,0AP = ，()0,2,2AC = ，令(),,n x y z =为平面PAC 的一个法向量，则0220x y y z +=⎧⎨+=⎩，()1,1,1n ∴=- ......（2分）易知()1,0,0m =为面ABC 的一个法向量，令面角B AC P --的平面角为θ，θ为锐角，则13cos 33n m n mθ⋅===⋅ .......（2分）20.解：（1）设点M 的坐标为(,)x y ，则3224y y x x ⋅=-+-，化简得点M 的轨迹方程221(2)43x y x +=≠±；......（4分）（2）易得点4(2,)P m ，故4(2,Q m-，将2x my =-与22143x y +=联立，消去x ，整理得22(34)120m y my +-=，解得0y =或21234m y m =+，故点2226812(,)3434m m M m m -++，...（2分）故直线MQ ：222124684(+)(2)(2)()03434m m x y m m m m ----+=++，令0y =解得226432m x m -=+，故2264(,0)32m D m -+，...（3分）所以APD △的面积为222241124=232||32m m m m m ⨯⨯++，故224=26m ，...（2分）整理得2326|20m m -+=，解得6||3m =，所以63m =±．...（1分）21.解：（1）由题意，可知f （0）＝1，∴x ＝0不是f （x ）的零点，当x ≠0时，令f （x ）＝e x +ax 2＝0，整理得，-a＝，令t （x）＝，x ≠0．则t ′（x）＝．∴函数t （x ）在（﹣∞，0）上单增，在（0，2）上单减，在（2，+∞）上单增，在x ＝2处取得极小值t （2）＝．∵x →﹣∞，t →0；x →0，t →+∞；x →+∞，t →+∞∴函数t （x ）大致图象如右：...（2分）结合图形可知：①当﹣a ≤0，即a ≥0时，﹣a ＝无解，即e x +ax 2＝0无解，此时f （x ）没有零点，②当0＜﹣a＜，即﹣＜a ＜0时，e x +ax 2＝0有1个解，此时f （x ）有1个零点，③当﹣a＝，即a＝﹣时，e x +ax 2＝0有2个解，此时f （x ）有2个零点，④当﹣a＞，即a＜﹣时，e x +ax 2＝0有3个解，此时f （x ）有3个零点，综上所述，当a ≥0时，没有零点；当﹣＜a ＜0时，有1个零点；当a＝﹣时，有2个零点；当a＜﹣时，有3个零点．...（4分，每种情况各1分）（2）f （x ）﹣g （x ）＝e x +e 3x +a （x 2﹣xlnx ﹣x ）＞0在x ∈（0，+∞）上恒成立，∴+e 3+a （x ﹣lnx ﹣1）＞0在x ∈（0，+∞）上恒成立，令h （x ）＝+e 3+a （x ﹣lnx ﹣1），0x >，h ′（x）＝（x ﹣1）（+a ），...（2分）令+a ＜0，可得a＞﹣，x ∈（0，+∞）．∴a ＞﹣e ．当a ＞﹣e 时，x ＝1时，h （x ）取得极小值即最小值．h （x ）≥h （1）＝e +e 3＞0恒成立．...（1分）当a ＝﹣e 时，函数h （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增，x →0+，h （x ）＞0恒成立，...（1分）当a ＜﹣e 时，令h ′（x ）＝0解得x ＝1或e x +ax ＝0，由+ax 0＝0，a ＜﹣e ，可得＝﹣ax 0＞ex 0，则x 0＞1，∴函数h （x ）在（0，1）上单增，在（1，x 0）上单减，在（x 0，+∞）上单增．h （x ）min ＝h （x 0）＝﹣a +e 3+a （ln （﹣a ）﹣1）＝aln （﹣a ）﹣2a +e 3＝F （a ），a ＜﹣e ．F ′（a ）＝ln （﹣a ）+1﹣2＝ln （﹣a ）﹣1＞0，∴F （a ）在a ＜﹣e 时单增，而F （﹣e 3）＝﹣e 3ln （﹣e 3）+2e 3+e 3＝0．∴﹣e 3＜a ＜﹣e 时，h （x ）min ＝h （x 0）＞0，满足题意．综上可得a ∈（﹣e 3，+∞）．...（2分）22.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为()220y ax a =>，...（2分）直线l 的普通方程为20x y --=...（2分）（2）直线l 的参数方程与曲线C的直角坐标方程联立，得)()24840t a t a -+++=，()840a a ∆=+>，点,M N 分别对应参数12,t t恰为上述方程的两实根，)124t t a +=+，()1284t t a =+，...（2分）由,,PM MN PN 成等比数列得21212t t t t -=，即()21212124t t t t t t +-=，代入得)()()()2448484a a a +-⨯+=+，解得1a =或4a =-，01a a >∴= ..（4分）23.解：（1）当5m =时，52,1,()3,11,52, 1.x x f x x x x +<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩由()2f x >得不等式的解集为33|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．.........................（5分）（2）由函数2223(1)2y x x x =++=++，该函数在1x =-取得最小值2因为2,1,()2,11,2,1,m x x f x m x m x x +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩在1x =-处取得最大值2m -所以要使函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，只需22m -≥，即4m ≥....（5分）。