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重庆南开中学2020学年度高2020级高三数学理科半期考试卷

重庆南开中学2020学年度高2020级半期考试数学试题(理科)一、选择题(每小题5分,共50分) 1.已知函数xx f -=21)(,其图象是下图中的 ( )2.不等式0)3)(2)(1(2>+-+x x x 的解集是 ( )A .}21|{<<-x xB .φC .RD .}12|{-<>x x x 或3.若1||||,>+∈b a R b a ,则使成立的充分不必要条件是( ) A .1||≥+b a B .21||21||≥≥b a 且C .1||≥aD .b<-14.若△ABC 的内角A 满足sinA+cosA>0, tanA -sinA<0,则角A 的取值范围是 ( )A .)4,0(π B .)1,0[ C .)43,2(ππ D .),4(ππ5.已知b a ,是非零向量且满足b a b a b a b a 与,则⊥-⊥-)2(,)2(的夹角是 ( )A .6πB .3π C .32π D .65π 6.数列1,n ++++++ΛΛ211,,3211,211的前n 项和为 ( )A .122+n nB .12+n nC .12++n nD .12+n n7.在直线y=-2上有一点P ,它到点A (-3,1)和点B (5,-1)的距离之和最小,则点P 的坐标是 ( )A .(3,-2)B .(1,-2)C .(419,-2) D .(9,-2) 8.实数x ,y 满足不等式1102200+-=⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥x y y x y x y ω,则的取值范围是( )A .[-1,31] B .]31,21[-C .),21[+∞-D .)1,21[-9.对于0<a<1,给出下列四个不等式:(1))11(log )1(log aa a a +<+ (2)a a aa a a a a a aaa 111111)4(;)3();11(log )1(log ++++><+>+其中成立的是 ( )A .(1)和(3)B .(1)和(4)C .(2)和(3)D .(2)和(4)10.已知xy y x N y x ,则,且19939319*,≤+∈的最大值是 ( )A .559B .560C .561D .562二、填空题(每题4分,共24分)11.函数)23(log 221+-=x x y 的递增区间为12.如果数列{a n }满足a 1,a 2-a 1,a 3-a 2,…,a n -a n -1是首项是1,公比为3的等比数列,则a n = 13.函数]2,0[|,sin |3sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线y=m 有且仅有两个不同的交点,则m 的取值范围是14.已知圆的方程为1)1(22=++y x ,如果直线0=++a y x 与该圆无公共点,那么实数a 的取值范围是15.方程6log 71)sin(21<<--=x x 在π的条件下解有 个.16.点O 在△ABC 内部,且满足22=++,则△ABC 面积与凹四边形ABOC的面积之比为三、解答题(共76分) 17.(13分)解关于x 的不等式:)0(,113)1(><--+a x x a18.(13分)圆822=+y x 内一点P (-1,2),过点P 的直线l 的倾斜角为α,直线l 交圆于A ,B 两点.(1)求当43πα=时,弦AB 的长; (2)当弦AB 被点P 平分时,求直线l 的方程.19.(13分)已知△ABC 的面积为3, 且满足60≤⋅≤AC AB ,设AC AB 和的夹角θ. (1)求θ的取值范围; (2)求函数θθπθ2cos 3)4(sin 2)(2-+=f 的最大值与最小值.20.(13分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,na n+1=S n +n (n+1)(n *N ∈). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设n nn s b 2=,如果对一切正整数n 都有t b n ≤,求t 的最小值.21.(12分)在沙坪坝交通拥挤地段,为了确保交通安全,规定机动车相互之间的距离m (米)与车速v (千米/小时)须遵守的关系是225001kv m ≥(其中k (米)是车身长,常数),同时规定.2k m ≥ (1)当m=2k时,求机动车的速度变化范围; (2)设机动车每小时流量2250011000kv m m k v P =+=,此时,应规定怎样的车速,每小时的机动车流量P 最大?22.(12分)数列{a n },a 1=1,*)(3221N n n n a a n n ∈+-=+,(1)求a 2,a 3的值;(2)是否存在常数μλ,,使得数列}{2n n a n μλ++是等比数列,若存在,求出μλ,的值;若不存在,说明理由;(3)设n n n n n b b b b S n a b ++++=-+=-Λ3211,21, 证明:当.35)12)(1(62<<++≥n S n n n n 时,参考答案一、选择题(每小题5分,共60分)1—5 BADCB 6—10 BADDC 选解:10.22)21993()29319(9319*,≤+≤⋅⇒∈y x y x N y x 561*,561]93195.996[93195.99622≤⇒∈=⨯⨯≤∴xy N y x xy ,又,而而561=3×11×17=33×17=51×11,20,100≤≤y x⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴115111511733y x y x y x ,经检验或满足题意,故5611151=⨯=xy 二、填空题(每小题4分,共16分) 11.(2,4) 12.)1,(-∞ 13.)13(21-n14.),21()21,(+∞+--∞Y 15.64 16.5:4三、解答题(共74分) 17.解:0)1)(2(012113)1(<--⇔<--⇔<--+x ax x ax x x a①当,时,1220><<a a 不等式的解为)2,1(ax ∈ ②当a=2时,a 2=1,不等式的解集为φ; ③当a>2时,a 2<1,不等式的解为)1,2(ax ∈时综上,不等式的解为:①0<a<2时,)2,1(a x ∈;②a=2时,φ∈x ;③a>2时,)1,2(ax ∈.18.解:(1)当43πα=时,直线AB 方程为:01=-+y x ,圆心到直线AB 的距离为222|100|=-+,∴弦AB 的长为:30)22(822=-(2)当弦AB 被点P 平分时,PO ⊥AB ,直线l 的斜率为21,其方程为052=+-y x 19.解:(1)设△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 则由,,可得,1cot 06cos 03sin 21≤≤≤≤=θθθbc bc ∴]2,4[ππθ∈ (2)θθπθθπθ2cos 3)]22cos(1[2cos 3)4(sin 2)(2-+-=-+=f .1)32sin(212cos 32sin 2cos 3)2sin 1(+-=+-=-+=πθθθθθ31)32sin(22],32,6[32]2,4[≤+-≤∴∈-∈πθπππθππθ,Θ 即当.2)(4;3)(125min max ====θπθθπθf f 时,当时,20.解:(1)由 )1()1( )1(11n n S a n n n s na n n n n -+=-⇒++=-+两式作差得:2n;2,2 2111=∴=+=+=++n n n n n a a a a n na na ,又即 (2)由(1)易得n n n n n n n S b n n S 2)1(2)1(+==⇒+=, ∴112)2)(1(-+-+=-n n n n n b b ∴b 1<b 2=b 3>b 4>……,∴b n 最大值23,32即b b ,对一切正整数n 都有,t b n ≤即t 大于或等于b n 的最大值,∴t 的最小值是23. 21.解(1)2252500122≤∴≥=Θv kv k m ,故当22502≤<=v km 时,(千米/小时) (2)当231000225k vP v =≤时,P 是v 的一次函数,v=225,P 最大为k3250000,当k v v k kvk v P v 25000|25001|1000250010002252≤+=+=>时,, 当且仅当v=50时,P 最大为k25000, kk 325000025000>Θ∴当v=50(千米/小时)时,每小时机动车流量P 最大. 22.解:(1)10,432==a a(2)设)(2)1()1(3222121n n a n n a n n a a n n n n μλμλ++=+++++-=++可化为,即 μλλμλ---++=+n n a a n n )2(221故 ⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=110321μλμλλμλ解得∴)(2)1()1(3222121n n a n n a n n a a n n n n +-=+++-+-=++可化为 又1,1 01121=-=≠+-μλ故存在a 使得数列 }{2n n a n μλ++是等比数列 (3)证明:由(1)得12122)11(-⋅+-=+-n n a n n a ∴n n a n n -+=-212故21121n n a b n n n =-+=-∵122122144441222+--=-<==n n n n n b n ∴)122122()7252()5232(12321+--++-+-+<++++=≥n n L b L b b b S n n n 时,35122321<+-+=n 现证)2()12)(1(6≥++>n n n nS n当n=2时,5445545312)12)(1(64541121>=⨯=++=+=+=,,而n n n b b S n , 故n=2时不等式成立, 当111)1(1132+-=+>=≥n n n n n b n n 时,由得 1261 6121111 )111()4131()3121()211(321+>>++=+-=+-+Λ+-+-+->+Λ+++=n n n n n n n b b b b S n n 得,且由∵)12)(1(61++>+>n n n n n S n。

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