p

一般来讲，存款利率要低于贷款利率。如果把存款利率视为无 风险收益率，那么投资者的贷款利率就要高于无风险利率。此 时，资本配置线就变成一条折线。
二、两个风险资产的组合

假设市场中的资产是两个风险资产，例如一个股票和一个公司债券，且 投资到股票上的财富比例为w，则投资组合的期望收益和标准差为：


给定效用水平 ，在期望值-标准差平面中 U U ( , ) 就是投 U 资者的无差异曲线。 对于风险规避的投资者而言，期望收益的增加会提高投资者效用 水平，标准差或者风险水平的增大则会降低效用水平，因此有： U U 0, 0 在期望值-标准差平面中，无差异曲线就是一条向右上倾斜的曲 线，并且左上方的无差异曲线代表的效用高水平要高于右下方无 差异曲线的效用水平。 给定投资者的效用函数 U U ( , ) ，当风险和期望的边际替代 率是递减的时候，无差异曲线就是凸向原点的。
S E r B E r
2
2
2 2 B S S B B E r S S , B S B E2 r E2 r E r
S E r B E r

情形一， S , B 1 此时，两个资产的收益率是完全正相关的，我们 容易得到：

同样，容易得到，两个风险资产构成的资产组合的期望和标准差之间的 额 p 2 aE2 (r
2 2 S B 2 S , B S B
a b c
S E r B E r
2
2 2 S S B B S E r B 2E r 2E r 2 E r S , B S B

情形三， 1 S , B 1 此时，在期望-标准差平面中对应着两条双曲 线。考虑到经济含义，我们只需考虑坐标轴第一象限内的部分：

在情形二和情形三中，我们可以根据最小方差点将可行集分为两个部 分：位于最小方差点上方的部分（SE1和SE2）和位于最小方差点下 方的部分（E1B和E2B）。对于风险规避的投资者而言，只会选择最 小方差点上方的资产组合，我们称这部分资产组合为全部资产组合的 效率边界（Efficient Frontier）。
第4章 最优资产组合选择
第一节 资产组合的有效边界 一、一个无风险资产与一个风险资产的组合

假设投资者投资到风险资产的财富比例为w，投资到无风 险资产的财富比例为1-w，则投资组合的期望收益和标准 差可以写成如下形式：
(1 w)r , w p wE r E r f p
2 P w S (1 w) B 2
S E r B E r B ( S B ) E rB , 当w 时 S B S B E rp S E r B B E r B , 当w ( S B ) E r 时 S B S B
p wE r S (1 w) E r B E r
2 2 2 2 S , r B ) w2 S p 2 w2 S (1 w)2 B 2w(1 w)Cov(r (1 w)2 B 2w(1 w) S , B S B
三、一个无风险资产与两个风险资产的组合


假设两个资产的投资权重分为w1和w2，无风险资产的投资权重为1-w1w2。两个风险资产构成一个风险资产组合，三个资产构成的投资组合可 行集等价于一个风险资产组合与一个无风险资产构成的可行集。 随着w1和w2的变化，风险资产的期望收益和方差并不是确定的值，而是 不断变化的。给定w1和w2的某一比例k，在期望收益-方差平面中就对应 着一个风险资产组合，该组合与无风险资产的连线形成了一条资本配置 线，这条资产配置线就是市场中存在三个资产时的投资组合可行集合。
2 P w S (1 w) B 2
p w S (1 w) B , 如果0 w 1
S E r B E r p B E r ( P B ) E r S B

情形二，S , B 1 此时，两个资产的收益率是完全负相关的，类似可 以得到：


进而容易得到投资组合期望收益与标准差之间的关系：
上式就是当市场中只有一个风险资产和一个风险资产的时 候，资产组合所有可能的风险-收益集合，又称为投资组 合可行集。
p rf E r
r E r f

p

p rf E r
r E r f

在“期望收益-标准差”平面中对应着一 条直线，穿过无风险资产 rf 和风险资产r，我们称这条直线为 资本配置线（Capital Allocation Line） 资本配置线的斜率等于资产组合每增加以单位标准差所增加 的期望收益，也即每单位额外风险的额外收益。因此，我们 有时候也将这一斜率称为报酬与波动性比率

我们容易发现，在所有资本配置线中，斜率最高的资本配置线在相同标 准水平下拥有最大的期望收益率，也即与风险资产组合效率边界相切的 一条线，我们称之为最有资本配置线，相应的切点组合P0被称为最优风 险资产组合。

上一节中我们确定了市场的投资可行集。投资者接下来就 是确定在可行集中进行资产组合的选择。 对投资者的个人特征和行为准则做几个假定： 投资者都是风险规避的，即在收益相同的条件下，投资者 会选择风险最低的投资组合。
第二节 最优资产组合选择


投资者在最有资产组合的选择中只关心资产的均值、方差 以及协方差。
最有资产组合就是使投资者效用达到最大的资产组合，换 句话说，投资者在资产组合的选择过程中遵循效用最大化 原则。

一、不同市场环境下最优资产组合的选择 定义效用为收益率的均值和标准差的函数，即
, Var (r ) U U ( , ), 其中 E r