《高等数学》2期末复习题一、填空题：1. 函数)3ln(12222y x y x z --+-+=的定义域是 1≦X^2+Y^2<3 .2.设,)1(y x z +=则=∂∂yz(1)ln(1)y x x ++ . 3.函数22ln(1)z x y =++在点(1,2)的全微分(1,2)dz= 1233dx dy +4．设,),(22y x xy y x f +=+则=),(y x f .设22(,),yf x y x y x+=-则=),(y x f .5.设v e z u sin = 而 xy u = y x v += 则=∂∂yz[sin()cos()]xy e x x y x y +++ 6．函数 22y x z += 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，32+）的方向导数是 1+7.改换积分次序⎰⎰=2022),(y ydx y x f dy ；11(,)y dy f x y dx -=⎰ .8．若L 是抛物线 x y =2上从点A )1,1(-到点B )1,1(的一段弧，则⎰Lxydx =9.微分方程22(1)0x x e dy ye dx ++=的通解为 . 二、选择题： 1．y xy y x )tan(lim)0,2(),(→ 等于 （ ）（上下求导）A ．2， B.21C.0D.不存在 2．函数 y x z -= 的定义域是（ D ）A ．{}0,0),(≥≥y x y x B.{}y x y x ≥2),(C.{}y x y y x ≥≥2,0),( D ．{}y x y x y x ≥≥≥2,0,0),(3.=∂∂),(00|),(y x xy x f （ B ） A.x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000B.x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000C.xy x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim00000D. x y x x f x ∆∆+→∆),(lim 0005.设)(22y x F z +=，且F 具有导数，则=∂∂+∂∂yzx z （D ） A.y x 22+； B.)()22(22y x F y x ++； C. )()22(22y x F y x +'-； D. )()22(22y x F y x +'+. 6．曲线 t a x cos =，t a y sin =，amt z =，在 4π=t 处的切向量是 （ D ）A ．)2,1,1( B.)2,1,1(- C.)2,1,1(m D.)2,1,1(m - 7．对于函数xy x y x f +=2),( ，原点)0,0( （ A ）A ．是驻点但不是极值点 B.不是驻点 C.是极大值点 D.是极小值点 8．设I=dxdy y x D⎰⎰-+5221， 其中D 是圆环4122≤+≤y x 所确定的闭区域，则必有（ ）A ．I 大于零 B.I 小于零 C.I 等于零 D.I 不等于零，但符号不能确定。

9. 已知L 是平面上不包含原点的任意闭曲线，若曲线积分220L xdx aydyx y -=+⎰ ，则a 等于 （ ）.A -1B 1C 2D -210．若L 为连接)0,1(及)1,0(两点的直线段，则曲线积分()Lx y ds +⎰=（ ）A ．0 B.1 C.2 D.211.设D 为,222y y x ≤+则=+⎰⎰dxdy y x f D)(22（ ）A.dx y x f dy y y )(222022+⎰⎰-； B. rdr r f d )(21020⎰⎰θπ；C. rdr r f d )(2sin 20⎰⎰θπθ； D. dy y x f dx )(222011+⎰⎰-.12. 微分方程()1x e y y '+=的通解为（ ）A.x ye c =；B.x ye x c -=+；C.()x y x c e -=+；D.x y cxe -= 13.（ ）是微分方程x y y e -'''+=在初始条件01,1x x yy =='==-下的特解.A.12x y c c xe -=-；B.x y xe -=-；C.12x y xe -=-；D.1x y xe -=-. 三、计算题：1.设33(sin ,)x z f e y x y =+，求 zx∂∂及z y ∂∂，其中f 具有一阶连续偏导数.2．设sin sin x y u v x v y u +=+⎧⎨=⎩， 求 x u ∂∂， x v∂∂3．求旋转抛物面 122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面及法线方程。

4．求函数322(,)339f x y x y x y x =-++-3的极值5．计算2Dxy dxdy ⎰⎰，其中D 是由圆周 422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域.6．计算2y Dedxdy -⎰⎰，其中D 是以O （0,0），A （1,1），B （0,1）为顶点的三角 形闭区域.7.计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中Ω是三个坐标面与平面 1=++z y x 所围成的区域.8.计算 ⎰-+++-Ldy y x dx y x )1353()42(，其中L 为圆2522=+y x 的正向边界。

9.计算曲线积分33()(),Ly x dy x y dx +++⎰其中L 是从O(0, 0)沿上半圆x y x 222=+到A(2, 0).10.验证：在整个xoy 面内，xdy y xdx y x 2cos 3cos 3cos 3sin sin 4-是某个函数的全微分，并求出这样的一个函数.11.求微分方程22(1)24x y xy x '++= 的通解.12.求解微分方程的特解： 22(3)20,(0)1y x dy xydx y -+==13.解微分方程 23()()0yy y y ''''-+=.四、应用题：1.用钢板制造一个容积为V 的无盖长方形水池，应如何选择水池的长、宽、高才最省钢板.2.已知矩形的周长为24cm ，将它绕其一边旋转而构成一圆柱体，试求所得圆柱体体积最大时的矩形面积.3.求抛物线242y x y x ==与曲线所围成的闭区域的面积.4.求抛物面226z x y =--与锥面z =所围成的立体的体积.高等数学2期末复习题答案一、填空题：1、22{(,)13}x y x y ≤+<2、(1)ln(1)y x x ++3、1233dx dy +4、22(1)2;1x y x y y--+ 5、[sin()cos()]xy e x x y x y +++6、1+ （注：方向导数0,00000()(,)cos (,)cos x y x y f f x y f x y lαβ∂=+∂）7、402(,)x dx f x y dy ⎰⎰；111(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy +-+⎰⎰⎰8、45（注：01104(5L xydx x dx =+=⎰⎰⎰） 9、22(1)x y e C +=二、选择题：1、A; 2. D; 3. B; 4.缺 5. D; 6. D; 7. A; 8. A; 9. A; 10.C; 11. C; 12.C; 13.D 三、计算题：1.解：令33sin ,x u e y v x y ==+，则2212sin 3sin 3x x z z u z v z z e y x e y f x f x u x v x u v ∂∂∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂ 2212cos 3cos 3x x z z u z v z z e y y e y f y f y u y v y u v∂∂∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂ 2. 解：两方程分别两边对x 求偏导数，注意,u v 是关于,x y 的二元函数，得1sin cos cos u vx xv u v x v y u x x ∂∂⎧=+⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=⎪∂∂⎩ 即1cos cos sin u vx xu v y u x v v x x ∂∂⎧+=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪-=⎪∂∂⎩这是以,u vx x∂∂∂∂为未知量的二元线性方程组。

当 11(cos cos )0cos cos J x v y u y u x v==-+≠-时，有111cos sin sin cos cos cos u x v vv x v x J x v y u ∂+==-∂+，111sin cos cos sin cos cos v v y uy u v x J x v y u∂-==-∂+ 3. 解：旋转抛物面 122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切向量 (2,1,4)(2,2,1)(4,2,1)n x y =-=-于是，所求切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=，即 4260x y z +--= 法线方程为214421x y z ---==- 4. 解：解方程组223690360fx x xf y y y ∂⎧=+-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=∂⎪⎩，得四个驻点1234(1,0),(1,2),(3,0),(3,2)P P P P --.又66,0,66xxxy yy f x f f y ''''''=+==-+.对21(1,0),0,P AC B ->且0A >,则1(1,0)P 是函数的极小值点；对22(1,2),0P AC B -<,则2(1,2)P 不是极值点； 对23(3,0),0P AC B --<,则3(3,0)P -不是极值点；对24(3,2),0P AC B -->,且0A <,则4(3,2)P -是函数的极大值点. 于是，函数有极小值(1,0)1395f =+-=-，极大值 (3,2)27827122731f -=--+++=.5. 解：利用极坐标变换，令cos ,sin x r y r θθ==，则dxdy rdrd θ=，且D 可表示为：02,22r ππθ≤≤-≤≤.于是2Dxy dxdy ⎰⎰22242202cos sin cos sin Dr r rdrd r dr d ππθθθθθθ-=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰2253021164sin 5315r ππθ-=⋅=. 6. 解：三角形区域D 由直线,1y x y ==及y 轴围成，选择先对x 积分，22221111011(1)22yy y y y Dedxdy dy edx yedy e e -----===-=-⎰⎰⎰⎰⎰.（注：此题也可以参看课本167页例2的解法）7.解题过程见课本124页例1.8. 解：(,)24,(,)3513P x y x y Q x y x y =-+=+-在L 围成的圆域D:2225x y +≤上全在连续的偏导数，1,3P Q y x ∂∂=-=∂∂，从而 4Q Px y∂∂-=∂∂.于是由格林公式，得 (24)(3513)44425100LDDx y dx x y dy dxdy dxdy ππ-+++-===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰.9. 解：33(,),(,)P x y x y Q x y y x =+=+，有1P Qy x∂∂==∂∂ 在整个xoy 平面上恒成立，所以曲线积分与路径无关，故可取x 轴上线段OA 作为积分路径.OA 的方程为0y =，且x 从0变到2，0dy =，从而3333()()()()LOAy x dy x y dx y x dy x y dx+++=+++⎰⎰22340144x dx x ===⎰.10. 解：(,)4sin sin 3cos ,(,)3cos3cos 2P x y x y x Q x y y x ==-，有4sin cos 3cos36sin 2cos3Px x y x y y∂=⋅=∂，3cos32(sin 2)6sin 2cos3Qy x x y x∂=-⋅-=∂， 即有P Q y x∂∂=∂∂在整个xoy 平面上恒成立，因此在整个xoy 面内，xdy y xdx y x 2cos 3cos 3cos 3sin sin 4-是某个函数的全微分.取ARB 为积分路径，其中各点坐标分别为(0,0),(,0),(,)A R x B x y ，得 (,)(0,0)(,)4sin sin3cos 3cos3cos2x y u x y x y xdx y xdy =-⎰4sin sin 3cos 3cos3cos 24sin sin 3cos 3cos3cos 2ARRBx y xdx y xdy x y xdx y xdy=-+-⎰⎰03cos3cos 23cos 2cos3xyydx y xdy x ydy =+-=-⎰⎰⎰13cos 2sin 3sin 3cos 23yx y y x =-⋅=-.11. 解法一：方程可改写为 2222411x x y y x x '+=++，这是一阶非齐次线性微分方程.先求对应的齐次线性方程的通解.由2201xy y x '+=+，分离变量，得221dy x dx y x =-+，两边积分，解得 121C y x =+. 用常数变易法，将1C 换成()C x .即2()1C x y x =+，22212()()1(1)xy C x C x x x ''=-++. 代入原方程，化简得 2()4C x x '=.故 34()3C x x C =+. 于是方程的通解为 3214()13y x C x =++. 解法二：方程可改写为 2222411x x y y x x '+=++. 这是一阶非齐次线性微分方程，其中22224(),()11x x P x Q x x x ==++.利用通解公式()()(())P x dxP x dx y e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰222221124()1x xdx dx x x x e e dx C x -++⎰⎰=++⎰2232221414[(1)]()1113x x dx C x C x x x =⋅++=++++⎰.12. 课本212页第8题第（1）小题。