高等数学复习题及答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的
括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.下列函数中为奇函数的是（ B ） A.()2x x
e e
f x -+= B.()2
x x e e f x --= C.3()cos f x x x =- D.5()sin f x x x =
答案：B
知识点：函数奇偶性 解：()()2x x e e f x f x -+-==故()2x x e e f x -+=为偶函数()()2
x x
e e
f x f x ---==-，故()2
x x e e f x --=为奇函数()()33()cos cos f x x x x x -=---=--，故3()cos f x x x =-为非奇非偶函数
()()5
5()sin sin ()f x x x x x f x -=--==，故5()sin f x x x =为偶函数 2.当0x +→时，下列变量为无穷小量的是（ C ） A.1
e x B.ln x C.x sin 1x D.1sin x x
答案：C
知识点： 无穷小量 解：1
lim e x x +→=+∞ 3.设函数f (x )=2ln(1), 0,, 0x x x x +≥⎧⎨<⎩
则f (x )在点x =0处（ C ） A.左导数存在，右导数不存在 B.左导数不存在，右导数存在
C.左、右导数都存在
D.左、右导数都不存在
答案：C
知识点：导数的定义
解：2ln(1), 0
(),, 0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩
4.曲线y
x =1处的切线方程为（ A ）
A.x 3y 4=0
B.x 3y +4=0
C.x +3y 2=0
D.x +3y +2=0
答案：A
知识点：曲线的切线方程 解：()23111'233
x y x -==-=
所求切线斜率为：
5.函数f (x )=x 2+1在区间[1,2]上满足拉格朗日中值公式的中值ξ=（ D ） A.1 B.65 C.54 D.32
答案：D
知识点：拉格朗日中值公式 解：根据拉格朗日中值公式ξ'2121
f(x )-f(x )f ()=x -x 得 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.函数f (x
_________. 答案：[]14-，
知识点：函数定义域 解：[]2
3210,145x -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭
根据题意得解得原函数定义域为-， 7.设函数f (x )=2(1), 0cos , 0x x x a x x ⎧⎪+>⎨⎪≤⎩在点x =0处连续，则a =_________.
答案：2e
知识点：函数的连续性
解：
0lim cos x a x a -→=
8.微分d (e -2
)=_________.
2 知识点：函数微分
解： d (e -2
)= d (e -2)+ d
)=0+2sec d
2 9.函数f (x )=x 2cos x 在区间[0,2
π]上的最小值是_________. 答案：2
知识点：函数最值
'()12sin 0,()02f x x f x π⎡⎤=+>⎢⎥⎣⎦
解：由得在，单调递增 10.曲线y =22231
x x x ---的铅直渐近线为_________. 答案：1x =
知识点：曲线的渐近线
11.无穷限反常积分402d 1x x x +∞+⎰
=_________. 答案：2
π 知识点：无穷限反常积分 解：224400
021d d arctan 112x x x x x x π+∞+∞+∞===++⎰⎰ 14.已知函数f (x )连续，若Φ(x )=x 1x ⎰
f (t )d t ，则Φ′(x )=_________.
答案：1()()x f t dt xf x +⎰ 知识点：变限积分的导数
解：()1
'()()x x f t dt xf x Φ=+⎰ 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
15.求数列极限221
lim(62)sin .31n n n →∞++
答案：2
知识点：数列极限 解：221
:lim(62)sin 31n n n →∞++法一 (当n →∞时,2211sin 3131n n ++ )
22221:lim(62)sin 311sin 312lim 1
31
2n n n n n n →∞
→∞+++=+=法二 (0sin lim 1x x x
→= ) 16.设函数f (x
arctan x ln(x
)，求导数f ′(1).
知识点：函数导数
17.
求极限0x →. 答案：1
3
知识点：洛必达法则
解：201cos lim x x x
→→-=　
18.求不定积分3ln d x x x ⎰.
答案： 4
41ln 416x
x x C -+
知识点：不定积分的分部积分法 解：4
3
44341111ln d ln d ln d ln 444416x x x x x x x x x x x x C ==-=-+⎰⎰⎰ 四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分)
19.确定常数a,b 的值，使得点(1,
12)为曲线y =32114x ax bx +++的拐点. 答案：304
a b =-=， 知识点：曲线拐点
20.计算定积分I =320
cos cos d .x x x π
- 答案：23
知识点：定积分头凑微分法 解：()32
2222000
cos cos d cos 1cos d cos sin d x x x x x x x x x πππ
-=-= 五、应用题（本题9分）
21.设D 是由曲线y =e x ，y =e -x 及直线x =l 所围成的平面
区域，如图所示.
(1)求D 的面积A .
(2)求D 绕x 轴一周的旋转体体积V x .
答案：12e e +-；22122e e π⎛⎫+- ⎪⎝⎭
知识点：定积分的几何应用 解：
1
100
1()2x x x x A e e dx e e e e --⎡⎤=-=+=+-⎣⎦⎰()11222222001()222x x x x x V e e
dx e e e e πππ--⎛⎫=-=+=+- ⎪⎝⎭
⎰ 六、证明题（本题5分）
22.证明：当x >0时，e 2x >1+2x . 知识点：函数单调性
解：()()21200,x f x e x f =--=设，则其导数。