《高等数学（一）》期末复习题一、选择题1、极限)x x →∞的结果是 （ C ）（A ）0 （B ） ∞ （C ）12（D ）不存在 2、方程3310x x -+=在区间(0,1)内 （ B ） （A ）无实根 （B ）有唯一实根 （C ）有两个实根 （D ）有三个实根 3、)(x f 是连续函数, 则 ⎰dx x f )(是)(x f 的 （ C ）（A ）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D) 全体导函数； 4、由曲线)0(sin π<<=x x y 和直线0=y 所围的面积是 （ C ）（A ）2/1 (B) 1 (C) 2 (D) π5、微分方程2x y ='满足初始条件2|0==x y 的特解是 ( D )（A ）3x （B ）331x + （C ）23+x （D ）2313+x6、下列变量中，是无穷小量的为（ A ） (A) )1(ln →x x (B) )0(1ln+→x x (C) cos (0)x x → (D) )2(422→--x x x 7、极限011lim(sin sin )x x x x x→- 的结果是（ C ）（A ）0 （B ） 1 （C ） 1- （D ）不存在 8、函数arctan x y e x =+在区间[]1,1-上 （ A ）（A ）单调增加 （B ）单调减小 （C ）无最大值 （D ）无最小值 9、不定积分 ⎰+dx x x12= （ D ） (A)2arctan x C + (B)2ln(1)x C ++ (C)1arctan 2x C + (D) 21ln(1)2x C ++10、由曲线)10(<<=x e y x 和直线0=y 所围的面积是 （ A ）（A ）1-e (B) 1 (C) 2 (D) e 11、微分方程dyxy dx=的通解为 （ B ）（A ）2xy Ce= （B ）212x y Ce= （C ）Cx y e = （D ）2x y Ce =12、下列函数中哪一个是微分方程032=-'x y 的解( D ) （A ）2x y = （B ） 3x y -= （C ）23x y -= （D ）3x y = 13、 函数1cos sin ++=x x y 是 （ C ）(A) 奇函数； (B) 偶函数； (C)非奇非偶函数； (D)既是奇函数又是偶函数. 14、当0→x 时， 下列是无穷小量的是 （ B ）（A ） 1+x e (B) )1ln(+x (C) )1sin(+x (D) 1+x 15、当x →∞时，下列函数中有极限的是 （ A ） （A ）211x x +- (B) cos x (C) 1xe (D)arctan x16、方程310(0)x px p ++=>的实根个数是 （ B ） （A ）零个 （B ）一个 （C ）二个 （D ）三个17、21()1dx x '=+⎰（ B ） （A ）211x + （B ）211C x ++ （C ） arctan x （D ） arctan x c +18、定积分()baf x dx ⎰是 （ C ）（A ）一个函数族 （B ）()f x 的的一个原函数 （C ）一个常数 （D ）一个非负常数19、 函数(ln y x =+是（ A ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ） 非奇非偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数20、设函数()f x 在区间[]0,1上连续，在开区间()0,1内可导，且()0f x '>，则( B )(A)()00f < (B) ()()10f f > (C) ()10f > (D)()()10f f < 21、设曲线221x y e-=-，则下列选项成立的是（ C ） (A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线 22、(cos sin )x x dx -=⎰( D )（A ） sin cos x x C -++ （B ） sin cos x x C -+ （C ） sin cos x x C --+ （D ） sin cos x x C ++23、数列})1({n n n-+的极限为（ A ） （A ）1 (B) 1-(C) 0(D) 不存在24、下列命题中正确的是（ B ）（A ）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B ）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 （C ）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D ）两无穷大量的差为零 25、若()()f x g x ''=，则下列式子一定成立的有（ C ）(A)()()f x g x = (B)()()df x dg x =⎰⎰ (C)(())(())df x dg x ''=⎰⎰ (D)()()1f x g x =+ 26、下列曲线有斜渐近线的是 ( C )(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+(C)1sin y x x =+ (D)21sin y x x=+二、填空题 1、 201cos limx x x →-=122、 若2)(2+=x e x f ，则=)0('f 23、 131(cos 51)x x x dx --+=⎰ 24、 =⎰dx e t t e x C +5、微分方程0y y '-=满足初始条件0|2x y ==的特解为 2x y e =6、224lim 3x x x →-=+ 0 7、 极限 =---→42lim 222x x x x 438、设sin 1,y x x =+则()2f π'= 19、 11(cos 1)x x dx -+=⎰ 210、 231dx x =+⎰3arctan x C +11、微分方程ydy xdx =的通解为 22y x C =+12、1415x dx -=⎰ 213、 sin 2limx x xx→∞+= 1 14、设2cos y x =，则dy 22sin x x dx - 15、设cos 3,y x x =-则()f π'= -116、不定积分⎰=x x de e C x +2e 2117、微分方程2x y e -'=的通解为 212x y e C -=-+18、微分方程x y ='ln 的通解是 x y e C =+19、xx x3)21(lim -∞→＝ 6e-20、,x y x y '==设函数则x 21、)21(lim 222nnn n n +++∞→Λ的值是 1222、3(1)(2)lim23x x x x x x →∞++=+- 1223、,x y x dy ==设函数则(ln 1)x x x dx +24、 20231lim 4x x x x →-+=+ 1425、若2()sin 6x f x e π=-，则=)0('f 226、25(1sin )a ax dx π++=⎰2π ().a 为任意实数27、设ln(1)xy e =-，则微分dy =______1xxe dx e -__________. 28、 3222(cos )d 1x x x x ππ-+=-⎰ 2三、解答题1、（本题满分9分）求函数y =的定义域。
解：由题意可得，1020x x -≥⎧⎨-≥⎩解得12x x ≥⎧⎨≤⎩所以函数的定义域为 [1，2]2、（本题满分10分）设()(1)(2)(2014)f x x x x x =---L ，求(0)f '。
解：)0(f '000--=→x f x f x )()(lim3、（本题满分10分）设曲线方程为16213123+++=x x x y ,求曲线在点)1,0(处的切线方程。
解：方程两端对x 求导，得26y x x '=++将0x =代入上式，得(0,1)6y '=从而可得：切线方程为16(0)y x -=- 即61y x =+4、（本题满分10分）求由直线x y =及抛物线2x y =所围成的平面区域的面积。
解：作平面区域，如图示y解方程组⎩⎨⎧==2x y xy 得交点坐标：（0，0），（1，1） 所求阴影部分的面积为：dx x x S )(⎰-=102=103232⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x =61 5、（本题满分10分）讨论函数2 1()3 1x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩在 1x = 处的连续性。
解： 11lim ()lim 23(1)x x f x x f ++→→=+==Q ∴()f x 在1x = 处是连续的6、（本题满分10分）求微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=+==3321x y x dx dy|的特解。
解：将原方程化为 dx x dy )(32+=两边求不定积分，得 dx x dy ⎰⎰+=)(32，于是23y x x C =++ 将31==x y |代入上式，有313C =++，所以1C =-， 故原方程的特解为132-+=x x y 。
7、（本题满分9分）求函数y =的定义域。
解：由题意可得，4050x x -≥⎧⎨-≥⎩解得45x x ≥⎧⎨≤⎩所以函数的定义域为 [4，5]8、（本题满分10分）设()(1)(2)()(2)f x x x x x n n =+++≥L ，求(0)f '。
解：)0(f '000--=→x f x f x )()(lim9、（本题满分10分）设平面曲线方程为33222=+-y xy x ，求曲线在点（2，1）处的切线方程。
解：方程两端对x 求导，得0622='+'+-y y y x y x )( 将点（2，1）代入上式，得112-='),(y 从而可得：切线方程为)(21--=-x y 即03=-+y x10、（本题满分10分）求由曲线x y e =及直线1=y 和1=x 所围成的平面图形的面积（如下图）．解：所求阴影部分的面积为10(1)x S e dx =-⎰11、（本题满分10分）讨论函数 0() 1 0x x x f x e x <⎧=⎨-≥⎩ 在 0x = 处的连续性。
解： 0lim ()lim 10(0)xx x f x e f ++→→=-==Q∴()f x 在0x = 处是连续的。
12、（本题满分10分）求方程0)1()1(22=+-+dy x dx y 的通解。
解：由方程0)1()1(22=+-+dy x dx y ，得两边积分：⎰⎰+=+2211xdxy dy 得C x y +=arctan arctan所以原方程的通解为：C x y +=arctan arctan 或)tan(arctan C x y += 13、（本题满分10分）证明方程475=-x x 在区间)2,1(内至少有一个实根。