《数学物理方程》期末试题（A卷）
（参考答案）
学院 专业 学号 姓名
题号 一 二 三 四 五 六 七 总分
分值 10 15 15 20 15 15 10 100
得分
阅卷人

1、 （10分）试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为：
其中E是圆锥体的杨氏模量，是质量密度，h是圆锥的高（如下图所示）：
【提示：已知振动过程中，在x处受力大小为uESx，S为x处截面面积。】
【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是1r和2r，如图所示。于是，我们有
上式化简后可写成
从而有
或成

其中2Ea，证明完毕。

2、 （20分）考虑横截面为矩形的散热片，它的一边yb处于较高温度U，其它三边0y，
0x
和xa则处于冷却介质中，因而保持较低的温度0u。试求该截面上的稳定温度

分布(,)uxy，即求解以下定解问题：

【提示：可以令
0
(,)(,)uxyuvxy

，然后再用分离变量方法求解。】

【解】令
0
(,)(,)uxyuvxy

，则原定解问题变为

分离变量：
代入方程得到关于X和Y的常微分方程以及关于X的定解条件：
可以判定，特征值
特征函数

利用特征值n可以求得
于是求得特征解
形式解为
由边界条件，有
得到
解得
最后得到原定解问题的解是

3、 （20分）试用行波法求解下列二维半无界问题
【解】方程两端对x求积分，得
也即
对y求积分，得
也即
由初始条件得
也即
再取0x，于是又有
从而得
于是

将这里的()gx和()hy代入(,)uxy的表达式中，即得

4、 （20分）用积分变换法及性质，求解无界弦的自由振动问题：
【提示：可利用逆Fourier积分变换公式：11,||sin[]20,||xatatFaaxat】

【解】对变元x作Fourier变换，令
则有
方程的通解是
由初始条件得
可得
方程的解
从而
查表可得
从而
注意到
最后得到原问题的解
即
这就是d’Alembert公式。
5、 （20分）对于平面上的调和函数(,)uxy

1）试证明Dirichlet边值问题解的唯一性，即：方程.0,0uu只有零解；
2）用Green函数法，试求解边值界为(,)gxy的上半平面调和函数的Poisson表达式。

6、 （20分）半径为0r的球形区域内部没有电荷，球面上的电位为20cosu，0u为常数，
求球形区域内部的电位分布。即求解以下定解问题（球坐标形式）：

【解答】由于球面上边界条件中不含有变量，故只考虑轴对称解，可以用分离变量法求解
该问题。为此令
代入方程，得
改写成

令(1),cos,nnxP，可将上面两个方程改写成

上面第二个方程是一个勒让德方程，其通解为()nPx。而第一个方程是一个欧拉方程，它的
通解是
再根据R的有界性，应有20C，从而
于是，原问题的解是
边界条件为
或写成
即有
根据已有的结果
或
从而
于是有

比较两端()nPx的系数，可知
从而

7、 （10分）用Ritz-Galerkin方法求下列问题的近似解：
其中区域222{(,)|}xyxyR，0u为常数。
【提示：取近似解为2221()uARxy】
【解】取基函数组2220Rxy，求(,)uxy的近似解，只取1N，则
222
10
()uAARxy

。

泛函
令
有
可得
最后得到定解问题的近似解为
…